形如奇函数y=x.(ax^2+b)的图像画法及性质详解D3.docVIP

函数y=eq\f(151x,364x2+18)的性质及图像画法

主要内容：

本文主要介绍函数y=eq\f(151x,364x2+18)的定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性等性质，并简要画出函数的图像示意图。

函数的定义域：

∵分母364x2+18≥18＞0，即分母为正的实数，再取倒数函数有意义，

∴函数的定义域为全体实数，即：(-∞，+∞)。

函数的单调性：

可用基本不等式来解析，分子分母同时除x有：

y=eq\f(151x,364x2+18)=eq\f(151,364x+eq\f(18,x)),

对于分母g(x)=364x+eq\f(18,x)有：

(1)当x＞0时，g(x)≥2eq\r(364x*eq\f(18,x))=12eq\r(182)，取等号时x=eq\f(3,182)\r(182)≈0.22，则函数增区间为(0，0.22)，减区间为[0.22,+∞);

(2)当x＜0时，g(x)≤-2eq\r(364x*eq\f(18,x))=-12eq\r(182)，取等号时x=-eq\f(3,182)\r(182)≈-0.22，则函数增区间为(-0.22,0)，减区间为(-∞,-0.22]。或者，用导数知识求解有：

y=eq\f(151x,364x2+18),

eq\f(dy,dx)=eq\f(151*(364x2+18)-2*364*151x2,(364x2+18)2)

=-eq\f(151(364x2-18),(364x2+18)2),令eq\f(dy,dx)=0,则:364x2-18=0,即364x2=18，求出：

x=±eq\f(3,182)\r(182)≈±0.22，函数单调性为：

(1)当x∈(-∞，-0.22)∪(0.22，+∞)时，eq\f(dy,dx)≤0，函数y为减函数；

(2)当x∈[-0.22，0.22]时，eq\f(dy,dx)0，此时函数y为增函数。

函数的凸凹性：

eq\f(dy,dx)=-151eq\f(364x2-18,(364x2+18)2),

eq\f(d2y,dx2)=-151*eq\f(2*364x(364x2+18)2-(364x2-18)*4*364x(364x2+18),(364x2+18)?)

=-151*eq\f(2*364x(364x2+18)-4*364x(364x2-18),(364x2+18)3)

=2*364*151*eq\f(x(364x2-3*18),(364x2+18)3).

令eq\f(d2y,dx2)=0，则x=0或者364x2-3*18=0，求出:

x=±eq\f(3,182)eq\r(546)≈±0.39，函数y凸凹性为：

(1)当x∈[-0.39，0]∪(0.39，+∞)时，eq\f(d2y,dx2)0，函数y为凹函数；

(2)当x∈(-∞,-0.39)∪(0,0.39]时，eq\f(d2y,dx2)≤0，函数y为凸函数。

函数的奇偶性：

因为:f(x)=eq\f(151x,364x2+18),所以:

f(-x)=eq\f(151(-x),364(-x)2+18)=-eq\f(151x,364x2+18)=-f(x).

函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称。

函数的极限：

Lim(x→-∞)eq\f(151x,364x2+18)=0，Lim(x→+∞)eq\f(151x,364x2+18)=0，

Lim(x→0+)eq\f(151x,364x2+18)=0，Lim(x→0-)eq\f(151x,364x2+18)=0.

函数的特征点图表：

x

-0.73

-0.56

-0.39

-0.22

2

0.22

0.39

0.56

0.73

151x

-110.23

-84.56

-58.89

-33.22

302

33.22

58.89

84.56

110.23

364x2+18

211.98

132.15

73.36

35.62

1474

35.62

73.36

132.15

211.98

y

-0.52

-0.64

-0.80

-0.93

0

0.93

0.80

0.64

0.52

函数的图像示意图：

y=eq\f(151x,364x2+18)

y

(0.22,0.93)

(0.39,0.80)

(0.73,0.52)

(-0.73,-0.52)

(-0.39,-0.80)

(-0.22,-0.93)