形如奇函数y=x.(ax^2+b)的图像画法及性质详解D6.docVIP

函数y=eq\f(28x,378x2+249)的性质及图像画法

主要内容：

本文主要介绍函数y=eq\f(28x,378x2+249)的定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性等性质，并简要画出函数的图像示意图。

函数的定义域：

∵分母378x2+249≥249＞0，即分母为正的实数，再取倒数函数有意义，

∴函数的定义域为全体实数，即：(-∞，+∞)。

函数的单调性：

可用基本不等式来解析，分子分母同时除x有：

y=eq\f(28x,378x2+249)=eq\f(28,378x+eq\f(249,x)),

对于分母g(x)=378x+eq\f(249,x)有：

(1)当x＞0时，g(x)≥2eq\r(378x*eq\f(249,x))=18eq\r(1162)，取等号时x=eq\f(1,42)\r(1162)≈0.81，则函数增区间为(0，0.81)，减区间为[0.81,+∞);

(2)当x＜0时，g(x)≤-2eq\r(378x*eq\f(249,x))=-18eq\r(1162)，取等号时x=-eq\f(1,42)\r(1162)≈-0.81，则函数增区间为(-0.81,0)，减区间为(-∞,-0.81]。或者，用导数知识求解有：

y=eq\f(28x,378x2+249),

eq\f(dy,dx)=eq\f(28*(378x2+249)-2*378*28x2,(378x2+249)2)

=-eq\f(28(378x2-249),(378x2+249)2),令eq\f(dy,dx)=0,则:378x2-249=0,即378x2=249，求出：

x=±eq\f(1,42)\r(1162)≈±0.81，函数单调性为：

(1)当x∈(-∞，-0.81)∪(0.81，+∞)时，eq\f(dy,dx)≤0，函数y为减函数；

(2)当x∈[-0.81，0.81]时，eq\f(dy,dx)0，此时函数y为增函数。

函数的凸凹性：

eq\f(dy,dx)=-28eq\f(378x2-249,(378x2+249)2),

eq\f(d2y,dx2)=-28*eq\f(2*378x(378x2+249)2-(378x2-249)*4*378x(378x2+249),(378x2+249)?)

=-28*eq\f(2*378x(378x2+249)-4*378x(378x2-249),(378x2+249)3)

=2*378*28*eq\f(x(378x2-3*249),(378x2+249)3).

令eq\f(d2y,dx2)=0，则x=0或者378x2-3*249=0，求出:

x=±eq\f(1,42)eq\r(3486)≈±1.41，函数y凸凹性为：

(1)当x∈[-1.41，0]∪(1.41，+∞)时，eq\f(d2y,dx2)0，函数y为凹函数；

(2)当x∈(-∞,-1.41)∪(0,1.41]时，eq\f(d2y,dx2)≤0，函数y为凸函数。

函数的奇偶性：

因为:f(x)=eq\f(28x,378x2+249),所以:

f(-x)=eq\f(28(-x),378(-x)2+249)=-eq\f(28x,378x2+249)=-f(x).

函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称。

函数的极限：

Lim(x→-∞)eq\f(28x,378x2+249)=0，Lim(x→+∞)eq\f(28x,378x2+249)=0，

Lim(x→0+)eq\f(28x,378x2+249)=0，Lim(x→0-)eq\f(28x,378x2+249)=0.

函数的特征点图表：

x

-2.61

-2.01

-1.41

-0.81

7484

0.81

1.41

2.01

2.61

28x

-73.08

-56.28

-39.48

-22.68

209552

22.68

39.48

56.28

73.08

378x2+249

2823.97

1776.16

1000.50

497.01

21171877017

497.01

1000.50

1776.16

2823.97

y

-0.03

-0.03

-0.04

-0.05

0

0.05

0.04

0.03

0.03

函数的图像示意图：

y=eq\f(28x,378x2+249)

y

(0.81,0.05)

(1.41,0.04)

(2.61,0.03)

(-2.61,-0.03)

(-1.41,-0.04)

(-0.81,-0.05)