形如奇函数y=x.(ax^2+b)的图像画法及性质详解D8.docVIP

函数y=eq\f(141x,121x2+39)的性质及图像画法

主要内容：

本文主要介绍函数y=eq\f(141x,121x2+39)的定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性等性质，并简要画出函数的图像示意图。

函数的定义域：

∵分母121x2+39≥39＞0，即分母为正的实数，再取倒数函数有意义，

∴函数的定义域为全体实数，即：(-∞，+∞)。

函数的单调性：

可用基本不等式来解析，分子分母同时除x有：

y=eq\f(141x,121x2+39)=eq\f(141,121x+eq\f(39,x)),

对于分母g(x)=121x+eq\f(39,x)有：

(1)当x＞0时，g(x)≥2eq\r(121x*eq\f(39,x))=22eq\r(39)，取等号时x=eq\f(1,11)\r(39)≈0.57，则函数增区间为(0，0.57)，减区间为[0.57,+∞);

(2)当x＜0时，g(x)≤-2eq\r(121x*eq\f(39,x))=-22eq\r(39)，取等号时x=-eq\f(1,11)\r(39)≈-0.57，则函数增区间为(-0.57,0)，减区间为(-∞,-0.57]。或者，用导数知识求解有：

y=eq\f(141x,121x2+39),

eq\f(dy,dx)=eq\f(141*(121x2+39)-2*121*141x2,(121x2+39)2)

=-eq\f(141(121x2-39),(121x2+39)2),令eq\f(dy,dx)=0,则:121x2-39=0,即121x2=39，求出：

x=±eq\f(1,11)\r(39)≈±0.57，函数单调性为：

(1)当x∈(-∞，-0.57)∪(0.57，+∞)时，eq\f(dy,dx)≤0，函数y为减函数；

(2)当x∈[-0.57，0.57]时，eq\f(dy,dx)0，此时函数y为增函数。

函数的凸凹性：

eq\f(dy,dx)=-141eq\f(121x2-39,(121x2+39)2),

eq\f(d2y,dx2)=-141*eq\f(2*121x(121x2+39)2-(121x2-39)*4*121x(121x2+39),(121x2+39)?)

=-141*eq\f(2*121x(121x2+39)-4*121x(121x2-39),(121x2+39)3)

=2*121*141*eq\f(x(121x2-3*39),(121x2+39)3).

令eq\f(d2y,dx2)=0，则x=0或者121x2-3*39=0，求出:

x=±eq\f(3,11)eq\r(13)≈±0.98，函数y凸凹性为：

(1)当x∈[-0.98，0]∪(0.98，+∞)时，eq\f(d2y,dx2)0，函数y为凹函数；

(2)当x∈(-∞,-0.98)∪(0,0.98]时，eq\f(d2y,dx2)≤0，函数y为凸函数。

函数的奇偶性：

因为:f(x)=eq\f(141x,121x2+39),所以:

f(-x)=eq\f(141(-x),121(-x)2+39)=-eq\f(141x,121x2+39)=-f(x).

函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称。

函数的极限：

Lim(x→-∞)eq\f(141x,121x2+39)=0，Lim(x→+∞)eq\f(141x,121x2+39)=0，

Lim(x→0+)eq\f(141x,121x2+39)=0，Lim(x→0-)eq\f(141x,121x2+39)=0.

函数的特征点图表：

x

-1.80

-1.39

-0.98

-0.57

5

0.57

0.98

1.39

1.80

141x

-253.80

-195.99

-138.18

-80.37

705

80.37

138.18

195.99

253.80

121x2+39

431.04

272.78

155.21

78.31

3064

78.31

155.21

272.78

431.04

y

-0.59

-0.72

-0.89

-1.03

0

1.03

0.89

0.72

0.59

函数的图像示意图：

y=eq\f(141x,121x2+39)

y

(0.57,1.03)

(0.98,0.89)

(1.80,0.59)

(-1.80,-0.59)

(-0.98,-0.89)

(-0.57,-1.03)