形如奇函数y=x.(ax^2+b)的图像画法及性质详解D4.docVIP

函数y=eq\f(27x,239x2+275)的性质及图像画法

主要内容：

本文主要介绍函数y=eq\f(27x,239x2+275)的定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性等性质，并简要画出函数的图像示意图。

函数的定义域：

∵分母239x2+275≥275＞0，即分母为正的实数，再取倒数函数有意义，

∴函数的定义域为全体实数，即：(-∞，+∞)。

函数的单调性：

可用基本不等式来解析，分子分母同时除x有：

y=eq\f(27x,239x2+275)=eq\f(27,239x+eq\f(275,x)),

对于分母g(x)=239x+eq\f(275,x)有：

(1)当x＞0时，g(x)≥2eq\r(239x*eq\f(275,x))=10eq\r(2629)，取等号时x=eq\f(5,239)\r(2629)≈1.07，则函数增区间为(0，1.07)，减区间为[1.07,+∞);

(2)当x＜0时，g(x)≤-2eq\r(239x*eq\f(275,x))=-10eq\r(2629)，取等号时x=-eq\f(5,239)\r(2629)≈-1.07，则函数增区间为(-1.07,0)，减区间为(-∞,-1.07]。或者，用导数知识求解有：

y=eq\f(27x,239x2+275),

eq\f(dy,dx)=eq\f(27*(239x2+275)-2*239*27x2,(239x2+275)2)

=-eq\f(27(239x2-275),(239x2+275)2),令eq\f(dy,dx)=0,则:239x2-275=0,即239x2=275，求出：

x=±eq\f(5,239)\r(2629)≈±1.07，函数单调性为：

(1)当x∈(-∞，-1.07)∪(1.07，+∞)时，eq\f(dy,dx)≤0，函数y为减函数；

(2)当x∈[-1.07，1.07]时，eq\f(dy,dx)0，此时函数y为增函数。

函数的凸凹性：

eq\f(dy,dx)=-27eq\f(239x2-275,(239x2+275)2),

eq\f(d2y,dx2)=-27*eq\f(2*239x(239x2+275)2-(239x2-275)*4*239x(239x2+275),(239x2+275)?)

=-27*eq\f(2*239x(239x2+275)-4*239x(239x2-275),(239x2+275)3)

=2*239*27*eq\f(x(239x2-3*275),(239x2+275)3).

令eq\f(d2y,dx2)=0，则x=0或者239x2-3*275=0，求出:

x=±eq\f(5,239)eq\r(7887)≈±1.86，函数y凸凹性为：

(1)当x∈[-1.86，0]∪(1.86，+∞)时，eq\f(d2y,dx2)0，函数y为凹函数；

(2)当x∈(-∞,-1.86)∪(0,1.86]时，eq\f(d2y,dx2)≤0，函数y为凸函数。

函数的奇偶性：

因为:f(x)=eq\f(27x,239x2+275),所以:

f(-x)=eq\f(27(-x),239(-x)2+275)=-eq\f(27x,239x2+275)=-f(x).

函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称。

函数的极限：

Lim(x→-∞)eq\f(27x,239x2+275)=0，Lim(x→+∞)eq\f(27x,239x2+275)=0，

Lim(x→0+)eq\f(27x,239x2+275)=0，Lim(x→0-)eq\f(27x,239x2+275)=0.

函数的特征点图表：

x

-3.44

-2.65

-1.86

-1.07

3

1.07

1.86

2.65

3.44

27x

-92.88

-71.55

-50.22

-28.89

81

28.89

50.22

71.55

92.88

239x2+275

3103.23

1953.38

1101.84

548.63

2426

548.63

1101.84

1953.38

3103.23

y

-0.03

-0.04

-0.05

-0.05

0

0.05

0.05

0.04

0.03

函数的图像示意图：

y=eq\f(27x,239x2+275)

y

(1.07,0.05)

(1.86,0.05)

(3.44,0.03)

(-3.44,-0.03)

(-1.86,-0.05)

(-1.07,-0.05)