形如奇函数y=x.(ax^2+b)的图像画法及性质详解D1.docVIP

函数y=eq\f(292x,292x2+165)的性质及图像画法

主要内容：

本文主要介绍函数y=eq\f(292x,292x2+165)的定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性等性质，并简要画出函数的图像示意图。

函数的定义域：

∵分母292x2+165≥165＞0，即分母为正的实数，再取倒数函数有意义，

∴函数的定义域为全体实数，即：(-∞，+∞)。

函数的单调性：

可用基本不等式来解析，分子分母同时除x有：

y=eq\f(292x,292x2+165)=eq\f(292,292x+eq\f(165,x)),

对于分母g(x)=292x+eq\f(165,x)有：

(1)当x＞0时，g(x)≥2eq\r(292x*eq\f(165,x))=4eq\r(12045)，取等号时x=eq\f(1,146)\r(12045)≈0.75，则函数增区间为(0，0.75)，减区间为[0.75,+∞);

(2)当x＜0时，g(x)≤-2eq\r(292x*eq\f(165,x))=-4eq\r(12045)，取等号时x=-eq\f(1,146)\r(12045)≈-0.75，则函数增区间为(-0.75,0)，减区间为(-∞,-0.75]。或者，用导数知识求解有：

y=eq\f(292x,292x2+165),

eq\f(dy,dx)=eq\f(292*(292x2+165)-2*292*292x2,(292x2+165)2)

=-eq\f(292(292x2-165),(292x2+165)2),令eq\f(dy,dx)=0,则:292x2-165=0,即292x2=165，求出：

x=±eq\f(1,146)\r(12045)≈±0.75，函数单调性为：

(1)当x∈(-∞，-0.75)∪(0.75，+∞)时，eq\f(dy,dx)≤0，函数y为减函数；

(2)当x∈[-0.75，0.75]时，eq\f(dy,dx)0，此时函数y为增函数。

函数的凸凹性：

eq\f(dy,dx)=-292eq\f(292x2-165,(292x2+165)2),

eq\f(d2y,dx2)=-292*eq\f(2*292x(292x2+165)2-(292x2-165)*4*292x(292x2+165),(292x2+165)?)

=-292*eq\f(2*292x(292x2+165)-4*292x(292x2-165),(292x2+165)3)

=2*292*292*eq\f(x(292x2-3*165),(292x2+165)3).

令eq\f(d2y,dx2)=0，则x=0或者292x2-3*165=0，求出:

x=±eq\f(3,146)eq\r(4015)≈±1.30，函数y凸凹性为：

(1)当x∈[-1.30，0]∪(1.30，+∞)时，eq\f(d2y,dx2)0，函数y为凹函数；

(2)当x∈(-∞,-1.30)∪(0,1.30]时，eq\f(d2y,dx2)≤0，函数y为凸函数。

函数的奇偶性：

因为:f(x)=eq\f(292x,292x2+165),所以:

f(-x)=eq\f(292(-x),292(-x)2+165)=-eq\f(292x,292x2+165)=-f(x).

函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称。

函数的极限：

Lim(x→-∞)eq\f(292x,292x2+165)=0，Lim(x→+∞)eq\f(292x,292x2+165)=0，

Lim(x→0+)eq\f(292x,292x2+165)=0，Lim(x→0-)eq\f(292x,292x2+165)=0.

函数的特征点图表：

x

-2.40

-1.85

-1.30

-0.75

0

0.75

1.30

1.85

2.40

292x

-700.80

-540.20

-379.60

-219.00

0

219.00

379.60

540.20

700.80

292x2+165

1846.92

1164.37

658.48

329.25

165

329.25

658.48

1164.37

1846.92

y

-0.38

-0.46

-0.58

-0.67

0

0.67

0.58

0.46

0.38

函数的图像示意图：

y=eq\f(292x,292x2+165)

y

(0.75,0.67)

(1.30,0.58)

(2.40,0.38)

(-2.40,-0.38)

(-1.30,-0.58)