2025年数学中考总复习第二部分热点专题突破专题三基于图形变换的视角添加几何辅助线.pptxVIP

专题三基于图形变换的视角添加

几何辅助线;在证明几何题时，有时添加辅助线是关键.当我们看到证完的几何题所添加的辅助线时，会觉得很奇妙，会问那巧妙的辅助线是怎么想出来的呢？图形变换(平移、旋转和轴对称)的思想有时可能会给我们指明方向.因为图形变换的最重要的性质是：虽然变换前后图形的位置发生了改变，但是图形全等(图形大小、形状不变)，这样通过图形变换，有时分散的条件就集中了，有时集中的条件就分散了，不管是集中了还是分散了，总的来说是条件明朗了、好用了.;典例精析;【答案】解法1：如图1，过点A作AD∥PB，过点B作BD∥PA，连接CD.

∵AD∥PB，AP∥BD，

∴四边形ADBP是平行四边形，

∴AD＝PB，AP＝BD，∠ABD＝∠PAB＝45°－30°＝15°，

易得∠CBD＝60°，BC＝BD，

∴△BCD是等边三角形，

∴CD＝BC＝AC＝AP，∠DCB＝60°，

∴∠ACD＝∠CAP＝30°，

∴△ACP≌△CAD(SAS)，∴PC＝AD.

又∵PB＝AD，∴PB＝PC.;解法2：如图2，过点A作AD∥BC，过点B作BD∥AC，连接PD.

易得四边形ADBC为正方形，

∴AC＝BD＝AD，∠CAD＝∠ADB＝90°，

∴∠PAD＝60°.

又∵AP＝AC＝AD，∴△PAD是等边三角形，

∴PA＝PD，∠ADP＝60°，∴∠PDB＝30°，

∴△BDP≌△CAP，∴PB＝PC.;解法3：如图3，将△APB沿AB翻折至△ADB，连接CD，PD.

易得AD＝AP＝AC，∠DAP＝∠PAC＝30°，

∴△CAD是等边三角形，

∴∠ACD＝∠ADC＝60°，CD＝AC＝BC，∠DCB＝30°，

易证△APC≌△APD≌△CBD，

∴PC＝PD＝BD，∠ADP＝∠CDB，

∴∠PDB＝∠ADC＝60°，

∴△PBD是等边三角形，

∴PB＝BD＝PC.;解法4：如图4，将△ACP沿AC翻折至△ACD，连接PD交AC于点E.

由翻折得∠PAC＝∠DAC＝30°，AD＝AP，CD＝PC，

∴△APD是等边三角形，AC垂直平分PD，

∴BC＝AC＝AP＝PD，∠DEC＝∠ACB＝90°，

∴PD∥BC，∴四边形PBCD是平行四边形，

∴PB＝CD＝PC.;解法5：如图5，过点A作AE⊥CP于点E，以点C为圆心，PC长为半径画弧交AE于点D，连接DP.

易得CD＝DP，△CDP是等边三角形，∠CAD＝∠PAD＝∠ACD＝∠PCB＝15°，

∴AD＝CD＝PC.

又∵AC＝BC，

∴△ACD≌△BCP，

∴PB＝AD，∴PB＝PC.;解法6：如图6，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E.

易证四边形PECF是矩形，则CD＝PE.设PE＝a.

∵∠PEA＝90°，∠CAP＝30°，∴AP＝2PE＝2a，

∴BC＝AC＝AP＝2a，∴BD＝BC－CD＝2a－a＝a，

∴CD＝BD，

∴PD垂直平分BC，

∴PB＝PC.;解法7：如图7，将AB绕点A逆时针旋转60°，得到AD，连接BD，CD.

易得△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠PAB＝15°，

又∵AC＝AP，AD＝AB，∴△ACD≌△APB(SAS)，

∴∠ADC＝∠ABP.

∵AD＝BD，AC＝BC，∴△ACD≌△BCD(SSS)，

∴∠ADC＝∠BDC＝30°，

∴∠ABP＝∠ADC＝30°，易得∠PBC＝15°.

∵∠PAC＝30°，AP＝AC，∴∠ACP＝75°，

∴∠PCB＝15°，∴∠PBC＝∠PCB，∴PB＝PC.;解法8：如图8，将PC绕点C顺时针旋转60°，得到CD，连接AD，PD.易得∠ACD＝∠BCP＝15°.

∵CD＝CP，AC＝BC，

∴△ACD≌△BCP(SAS)，∴BP＝AD.

易证△ACD≌△APD，

∴∠CAD＝∠PAD＝15°，

∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.

又∵AD＝PB，CD＝PC，∴PB＝PC.;观察图形，可以发现线段PC，PB在同一个三角形中，由题可知∠PCB=∠PAB=15°，在不添加辅助线的前提下，无法证明∠PBC=15°，若换一种思路，将线段PB，PC放到两个三角形中，也无法证明所在的三角形全等，图中更没有垂直平分线、角平分线等特殊图形，似乎常用的方法无法实现.由于图形中的条件比较集中，因此可以尝试从图形变换的角度添加辅助线使集中的条件分散化，搭建已知和未知之间的桥梁，这就是解题的突破口.;解法探究;类型2：运用翻折变换

解法3：观察到图中含15°角，翻折后将会出现30°的特殊角，从而构造全等三角形和等边三角形来求证.

解法4：观察到图中含30°角，翻折后将会出现60°的特殊角，从而构造了全等三角形和等边三角形来求证.

解法5：观察到要证PB＝PC这一结论，于是构造角平分线，充分运用其轴对称性质解题.

解法6：观察题干中AP＝A