2025年数学中考总复习第二部分热点专题突破专题七 二次函数性质综合题第1课时二次函数与几何图形结合问题.pptxVIP

专题七二次函数性质综合题

第1课时二次函数与几何图形结合问题;典例精析;例1(2024·甘肃临夏州)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，作直线BC.

(1)求抛物线的表达式.;(2)如图1，P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.;?;(3)如图2，M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC(点N在直线BC下方)，已知MN＝2.若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围.;?;利用二次函数性质求线段最值

（1）求竖直线段MN长的最大值（如图1）.

第一步：设点M（t，at2+bt+c），则点N（t，mt+n）；

第二步：表示线段MN的长，MN=at2+bt+c-mt-n；

第三步：整理，得MN=at2+（b-m）t+c-n，利用二次函数性质求最值.;（2）求斜线段MP长的最大值（如图2）.

利用锐角三角函数化斜为直，得MP=MN·sin∠MNP，再根据（1）的步骤解题即可.;?;?;核心思路：图形面积二次函数表达式;?;(2)当－2≤x≤1时，求y的最大值与最小值的差；;(3)D为直线AB上方抛物线上一动点，连接DA，DB，DC，BC，设△DAB的面积为S1，△DBC的面积为S2，求S1＋S2的最大值，并求出此时点D的坐标.;?;?;?;?;培优拓展学习;【答案】由题意得y＝a(x＋3)(x－1)＝a(x2＋2x－3)＝ax2＋bx－3，解得a＝1，

∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3.;(2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标.;（2）由S△PMC=2S△DMC=S△BMC，自然想到作辅助线：过点B作BP∥AC交抛物线于点P；

请思考“若由S△PMC=2S△DMC，作辅助线：过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点G上方取点L使CL=2CG，连接BL”是否能得到点P的坐标呢？;?;(3)若N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.;（3）由勾股定理得出AC2，AN2，CN2，根据等腰三角形的性质进行分类讨论.;?;类型4特殊四边形存在性问题;?;(2)已知点F(1，0)，连接CF并延长交直线PD于点M，N是x轴上方抛物线上的一点，在x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由.;（2）由题可知FM为定线段，若以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形，由MN∥FH确定点N的坐标，并得出MN长，由此确定点H的坐标，此处要防止漏解.;?;在教学过程中，一定要全面复习，把握每一个知识点的内涵和本质，既能够灵活地依据图形的性质和变化解决问题，也要加强对基础知识的训练，在解决图形存在性问题时，常用到分类讨论的数学思想，在不同情况下结合图形的基本性质及图形间关系来解决问题.;类型1线段问题

1.(2024·合肥包河区一模节选)如图，点A的坐标为(4，0)，抛物线M1：y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A，点B为第四象限内抛物线上一点，其纵坐标为－6，且tan∠OAB＝2.

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(1)求抛物线M1的表达式；;?;(2)C为直线AB下方的抛物线上一动点，过点C作CD∥x轴交直线AB于点D，设点C的横坐标为h，当CD取最大值时，求h的值.;?;类型2面积问题

2.(2024·成都节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2－2ax－3a(a＞0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点.

(1)求线段AB的长；;解：解法1：∵抛物线L：y＝ax2－2ax－3a(a＞0)与x轴交于A，B两点，

∴ax2－2ax－3a＝0，

整理得a(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝－1，x2＝3，

∴A(－1，0)，B(3，0)，

∴AB＝3－(－1)＝4.;?;(2)当a＝1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值.;?;?;类型3特殊三角形存在性问题

3.(2024·四川眉山改编)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，点D在抛物线上.

(1)求该抛物线的表达式；;?;(2)P是直线BC在第四象限内一点