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课题
曲线的凹凸性和拐点、函数图像的描绘
课时
4课时（180min）
教学目标
知识技能目标：
（1）熟练掌握曲线凹凸性的判别方法
（2）理解拐点的定义，掌握求解拐点的方法
（3）绘制某些简单函数的图形（包括水平和铅直渐进线）
素质目标：
（1）培养学生联系的、辩证统一的思想
（2）培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质
教学重难点
教学重点：判断曲线的凹凸性及拐点的求解
教学难点：判断曲线的凹凸性、绘制某些简单函数的图形
教学方法
讲解法、问答法、讨论法
教学用具
电脑、投影仪、多媒体课件、教材
教学过程
主要教学内容及步骤
课前任务
【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内容
【学生】完成课前任务
考勤
【教师】使用APP进行签到
【学生】按照老师要求签到
问题导入
【教师】提出问题：
如何求曲线的凹凸性及拐点？
【学生】聆听、思考、讨论、回答
传授新知
【教师】通过大家的发言和讲解，引入新的知识点，讲解曲线的凹凸性和拐点，以及函数图像描绘的相关知识
一、曲线的凹凸性与拐点
1．曲线凹凸性的定义及其判定
【教师】提出凹凸性的定义及判定方法
首先观察图3-9所示的两条曲线．
图3-9
如图3-9所示，有一类曲线向上弯曲，它在任何点处的切线总位于曲线的下方；另一类曲线向下弯曲，它在任何点处的切线总位于曲线的上方，由此我们给出关于曲线凹凸的定义：
定义1设在闭区间上连续，在开区间内可导，若曲线上每一点处的切线都在它的下方，（图3-10（a）），那么称曲线在上是凹的，区间叫做曲线的凹区间；如果曲线上每一点处的切线都在它上方（图3-10（b）），那么称曲线在上是凸的，区间叫做曲线的凸区间．
（a）（b）
图3-10
由图3-10可看出，对于凹的曲线弧，其上任意点的切线的斜率随着x的增大而增大，即是单调增加的，从而在内，；对于凸的曲线弧，其上各点的切线的斜率随着x的增加而减小，即在内饰单调减少的，因而在内，．由此可见，曲线的凹凸性与二阶导数的符号有关．
定理1（曲线凹凸性的判定定理）设在上连续，在内具有二阶导数：
（1）若在内，则曲线在上是凹的．
（2）在内，则曲线在上是凸的．
如果将定理中的区间改为其他区间，结论仍然成立．
【教师】通过例题，帮助学生掌握凹凸性的判定
例1判定曲线的凹凸性．
解函数的定义域为．．
当时，，故曲线在内是凸的；当时，，股曲线在内是凹的；当时，．点（0，0）是曲线由凸变凹的分界点（图3-11）．
图3-11
2．曲线的拐点及其判定
【教师】提出曲线拐点的定义及判定方法
定义2连续曲线上凹与凸两部分的分界点叫做该曲线的拐点．
如例1中，点（0，0）是曲线的拐点．如何来寻找曲线的拐点呢？
我们可以按下列步骤来判定某区间上的连续曲线的拐点：
（1）求二阶导数．
（2）令，解出这个方程在该区间内的实根，并求出在该区间内不存在的点．
（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点，考察在左、右两侧的符号，当两侧的符号相反时，点是拐点，当两侧的符号相同时，点不是拐点．
【教师】通过例题，帮助学生掌握凹凸性的判定
例2求曲线的凹凸点区间和拐点．
解函数的定义域为．
令，得x=0和x=1．
列表讨论如下：
x
0
（0，1）
1
+
0
－
０
＋
曲线
拐点
（0，1）
拐点
（1，0）
由上表可知，曲线的凹区间是，；凸区间是；拐点为（0，1）和（1，0），（表中“”和“”分别表示曲线是凹的和凸的）．
例3确定曲线的凹凸性和拐点．
解函数的定义域是，
当x=1时，都不存在．列表讨论如下：
x
1
+
不存在
—
曲线
拐点
（1，1）
由上表可知，曲线在是凹的，在是凸的，曲线的拐点为（1，1）．
二、函数图像的描绘
在作图之前先介绍曲线的水平渐近线和垂直渐近线的概念．
1．曲线的水平渐近线和垂直渐近线
【教师】提出曲线的水平渐近线和垂直渐近线的概念
如果一条曲线在无限延伸的过程中，能与某条直线无限接近，则称这条直线为该曲线的渐近线．
定义3如果当自变量（有时仅当），趋近于b，即
则称直线为曲线的水平渐近线；
如果当时，趋近于，即
则称直线为曲线的垂直渐近线．
例如，因为，所以直线（x轴）和（y轴）分别是曲线的水平渐近线和垂直渐近线．
2．函数图像的描绘
【教师】介绍函数图像的描绘方法
以前我们用描点法作图带有一定的局限性，图像上的一些特殊点（如极值、拐点）和弯曲方向往往得不到反映．为使函数图像
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