演示文稿协方差及相关系数.pptVIP

协方差及相关系数本文档共36页；当前第1页；编辑于星期日\18点13分前面我们学习了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，除了其数学期望和方差外，我们还要研究反映各分量之间关系的数字特征，其中最重要的，就是现在要讨论的协方差和相关系数1.问题的提出一、协方差与相关系数的概念及性质本文档共36页；当前第2页；编辑于星期日\18点13分在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系。本文档共36页；当前第3页；编辑于星期日\18点13分这里有两个变量，一个是父亲的身高，一个是成年儿子身高.为了研究二者关系，英国统计学家皮尔逊收集了1078个父亲及其成年儿子身高的数据,画出了一张散点图。儿子的身高父亲的身高问：父亲及其成年儿子身高存在怎样的关系呢？fatherson本文档共36页；当前第4页；编辑于星期日\18点13分类似的问题有：1、吸烟和患肺癌有什么关系？2、受教育程度和失业有什么关系？3、高考入学分数和大学学习成绩有什么关系？……???本文档共36页；当前第5页；编辑于星期日\18点13分协方差本文档共36页；当前第6页；编辑于星期日\18点13分定义对两个随机向量(X,Y),若E(X-EX)(Y-EY)存在，则称cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)为X和Y的协方差。特别,若X=Y,则cov(X,X)=E(X-EX)2=D(X)因此,方差是协方差的特例,协方差刻画两个随机变量之间的“某种”关系.可以证明若(X,Y)服从二维正态分布,即则2.定义本文档共36页；当前第7页；编辑于星期日\18点13分可见，若X与Y独立，则4.计算协方差的一个简单公式Cov(X,Y)=0.Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)3随机变量和的方差与协方差的关系本文档共36页；当前第8页；编辑于星期日\18点13分(5)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(对称性)5.简单性质(4)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)其中a、b是常数下面请大家利用上面所学的知识进行证明。(1)Cov(X,X)=D(X)(2)Cov(X,c)=0(c为常数)本文档共36页；当前第9页；编辑于星期日\18点13分协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间的联系,但它受X与Y本身数值大小的影响.如令X*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*间的相互联系和X与Y的相互联系应该是一样的,但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进行标准化:再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念.本文档共36页；当前第10页；编辑于星期日\18点13分为随机变量X和Y的相关系数(correlationcoefficient).1.定义:若D(X)0,D(Y)0,且Cov(X,Y)存在时，称在不致引起混淆时，记为.二、相关系数本文档共36页；当前第11页；编辑于星期日\18点13分2.相关系数的性质注意|ρXY|的大小反映了X,Y之间线性关系的密切程度:ρXY=0时,X,Y之间无线性关系;|ρXY|=1时,X,Y之间具有线性关系.本文档共36页；当前第12页；编辑于星期日\18点13分ρXY0,X,Y正相关ρXY0,X,Y负相关ρXY≠0,X,Y相关ρXY=0,X,Y不相关(ρXY=1,X,Y完全正相关)(ρXY=-1,X,Y完全负相关)xy0 完全正相关Y=aX+ba0xy0 完全负相关Y=aX+ba0本文档共36页；当前第13页；编辑于星期日\18点13分xy0 完全不相关xy0 正相关xy0 负相关本文档共36页；当前第14页；编辑于星期日\18点13分例：将一枚密度均匀硬币抛n次，分别以X和Y记作正反面出现的次数，则X和Y的相关系数为A：0B：1C：-1D：1或-1解：因为X＋Y＝n，即P{Y=-X+n}=1，所以X与Y完全负相关，故从而选C。注：若a0时,ρXY=1a0时,ρXY=-1则本文