北师大版九年级数学下册 圆周角和圆心角的关系教案.docxVIP

《圆周角和圆心角的关系》教案 （第 1 课时） 教学目标 知识技能：掌握圆周角的概念，理解掌握圆周角定理的证明并会进行简单的计算和证明． 过程与方法：经历圆周角定理证明过程，体会“特殊到一般”和“分类讨论”的数学思想方法． 情感与态度： 通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法． 教学重点 圆周角概念及圆周角定理． 教学难点 认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性． 教学方法 指导探索法、讲授法． 教学过程 一、复习回顾，引入新课 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角． 圆心角的度数和它所对的弧的度数的大小关系是：相等． 当角的顶点在圆心时，就是圆心角．这时角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的 点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？ 二、探索新知： 圆周角的概念（观察圆心角的顶点的变化，导出圆周角的概念） （ （1） （2） （3） 图（3）中的∠BAC ，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角． 强调两个要点： （1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交 跟踪训练： 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由． 研究圆周角和圆心角的关系． 证一证 当圆心 O 在圆周角∠ABC 的一边 BC 上时，圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 的大小关系． 1 解：∠ABC= 2 ∠AOC ．理由是： ∵ ∠AOC 是△ABO 的外角， ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO． ∵OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO． ∴∠AOC=2∠ABO． 1 即∠ABC= 2 ∠AOC． 如果∠ABC 的两边都不经过圆心（如下图），结果会怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？能否将下 图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？（学生互相交流、讨论） 如图（1），点 O 在∠ABC 内部时，只要作出直径 BD， 将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出． （体现“分”的数学思想） 1 1 由 1 的结论可知：∠ABD= 2 ∠AOD，∠CBD= 2 ∠COD， 1 1 ∴∠ABD+∠CBD= 2 (∠AOD+∠COD），即∠ABC= 2 ∠AOC． 在图（2）中，当点 O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径 BD， 将这个角转化成上述情形的两个角的差即可证出． （体现“补”的数学思想） 1 1 由 1 的结论可知：∠ABD = 2 ∠AOD，∠CBD= 2 ∠COD． ∴∠ABD-∠CBD= 1 1 (∠AOD-∠COD），即∠ABC= ∠AOC． 2 2 综上所述，我们可以得到： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （提问：条件是什么？结论是什么？） 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半． 老师提示：圆周角定理是承上启下的知识点，要予以重视． 如图 1，圆中一段 AC 对着许多个圆周角，这些个角的大小有什么关系?为什么? 如图 2，圆中 AB = EF ，那么∠C 和∠G 的大小有什么关系?为什么? 如图 2，圆中∠C=∠G， 那么 AB 与 EF 的大小有什么关系?为什么? EOBG E O B G O B F A C D 图 1 E 图 2 圆周角定理的推论 1 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等． 实际应用： 当球员在 B，D，E 处射门时，他所处的位置对球门 AC 分别形成三个张角∠ABC， ∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系? 定理的应用例题分析： 如图：OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB=2∠BOC． 求证：∠ACB=2∠BAC． 证明：∵∠AOB=2∠ACB，∠ BOC=2∠BAC． 又∵∠AOB=2∠BOC， ∴ 2∠ACB=2×2∠BAC， ∴∠ACB=2∠BAC． 总结规律：解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再 灵活运用圆周角定理． 练一练： 如图，在⊙O 上中， ∠BOC= 50°求∠BAC 的大小． 如图，哪个角与 ∠BAC 相等?你还能找到哪些相等的角? 3．指出图中的圆周角． 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图三、课堂小结 （一）这节课主要学习了两个知识点： 圆周角：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ★圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半． （二）在学习圆周角定理的证明时，渗透了“特殊到一般”和“分类讨论”的思想方法． 四、拓展延伸 圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角． 如下图中，∠DPB 是圆外角，那么∠DPB 的度数与它所夹的两段弧BD 和 AC 的度数有什么关系？ COA1．你的结