专题2.10 二次根式（学案讲义1）.docx

PAGE PAGE 1 专题2.10 二次根式（知识讲解1） 【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论： ≥0，（≥0），（≥0），（≥0），并利用它们进行计算和化简． 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．特别说明：　　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质1.≥0，（≥0）；2. （≥0）；3..特别说明：1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即. 2.与要注意区别与联系：1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值。 2).≥0时，==；0时，无意义，=. 【典型例题】 类型一、求二次根式的值 1．计算： （1）．（2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据二次根式的意义、性质、三次根式的意义、零指数幂的意义计算；（2）根据二次根式的运算法则及运算律计算． 解：原式= ； 原式= ． 【点拨】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的意义、性质、运算法则及运算律是解题关键． 【变式1】如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬个单位到达点，再直爬向点停止，已知点表示，点表示，设点所表示的数为． （1）求的值 （2）求的值 （3）直接写出蚂蚁从点到点所经过的整数中，非负整数有 个 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）根据数轴两点间的距离公式得到，然后解方程即可得到的值； （2）把的值代入，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义计算； （3）先找出点到点所有整数和非负整数，然后根据概率公式求解． 解：（1）由题意可得， 所以； （2）把代入得 ； （3）从点到点所经过的整数有，0，1，2，其中非负整数有0，1，2， 所以蚂蚁从点到点所经过的整数中，非负整数有3个． 【点拨】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义和二次根式的意义，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式2】计算，其中，小明算出了这样的结果：当a=-1时，；请你说出小明的错误在哪里． 【答案】小明的错误在最后一步 【分析】 根据算术平方根为非负数判断即可． 【详解】 ， 故小明的错误在最后一步． 【点拨】本题考查二次根式的求值，理解算术平方根的非负性是解答的关键． 类型二、求二次根式的参数 2．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【分析】 （1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可；（2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】 （1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点拨】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 【变式1】已知a，b满足 （1）a=_______， b=______ （2）把a，b的值代下以下方程并求解关于的方程 【答案】（1）-4，；（2） 【分析】 （1）结合题意，根据二次根式和绝对值的性质，通过求解一元一次方程方程，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，通过求解一元一次方程方程，即可完成求解． 【详解】 （1）∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：-4，； （2）根据（1）的结论，得： ∴ ∴． 【点拨】本题考查了一元一次方程、二次根式、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、绝对值的性质，并通过求解一元一次方程，从而完成求解． 【变式2】若实数满足，求的平方根． 【答案】 【分析】 根据算术平方根的非负性求出a、b的值，根据平方根的概念解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 把代入上式得， ∴， ∴的平方根为． 【点拨】本题考查算术平方根的非负性、平方根的定义，根据非负性求得b的值是关键． 类型三、二次根式意义的条件 3．已知a，b为实数，且－（b－1）＝0，求a2014＋b2015的值． 【答案】 【分析】 由已知条件得到，利用二次根式有意义的条件得到1-b≥0，1+a≥0再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，然后根据乘方的意义计算a2014+b2015的值． 【详解】 解：∵， ∴， ∴1+a=0，1-b=0， 解得a=-1，b=1， ∴a2014+b2015=（-1）2014+12015=1