专题2.14 《实数》全章复习与巩固（学案讲义）.docx

PAGE PAGE 1 专题2.14 《实数》全章复习与巩固（知识讲解） 【学习目标】 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根. 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 【要点梳理】 要点一、平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 　特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… 　 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质：　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().　　非负数具有以下性质：　　（1）非负数有最小值零；　　（2）有限个非负数之和仍是非负数；　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 【典型例题】 类型一、与实数有关的基本概念 1、有下列各数:一，3.14，一，0，一，π，1.3030030003，，，（每两个3之间多一个0）. (1)其中无理数有 (2)请将正实数按从小到大的顺序排列，并用“ ”连接。 【分析】（1）依据无理数的三种类型进行解答即可； （3）先找出其中的整数，然后再比较大小即可． 解，（1）其中无理数有-、π、1.3030030003，，，（每两个3之间多一个0） （2）1.3030030003，，， 一3.14π 【点拨】本题主要考查的是实数的相关概念，熟练掌握实数的有关概念是解题的关键． 【变式1】有六个数：0.142 7，(-0.5)3，3.141 6，227，-2π，0.102 002 000 2…，若无理数的个数为x,整数的个数为y,非负数的个数为z,求x+y+z的值 【答案】x+y+z=6. 【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数，由此即可判定无理数x的值，根据整数的定义非负数的定义即可判定y、z的值，然后即可求解． 解：由题意得无理数有2个,所以x=2；整数有0个,所以y=0,非负数有4个,所以z=4,所以x+y+z=2+0+4=6. 【点拨】本题主要考查实数的分类．无理数和有理数统称实数．有一定的综合性． 【变式2】有6个实数：﹣32，﹣，，0.313131…，，﹣，请计算这列数中所有无理数的和． 【答案】 试题分析：首先根据“无理数的定义”，找出上述各数中的无理数，再把它们相加即可. 解：∵上述各数中：﹣，，﹣是无理数， ∴上述各数中，所有无理数的和为： = =. 2、（1）已知，，则