专题1.3 一定是直角三角形吗（学案讲义）.docxVIP

PAGE PAGE 1 专题1.3 一定是直角三角形吗（知识讲解） 【学习目标】 1.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系． 2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. 3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围. 【要点梳理】 要点一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 首先确定最大边（如）. 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 特别说明：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 　【典型例题】 类型一、勾股定理的证明方法 1．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形说明； 【答案】见解析 【分析】根据题意，可在图中找出等量关系，由大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． 解：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴， 即． 【点拨】本题考查了对勾股定理的证明，解决问题的关键是在图中找出等量关系． 举一反三： 【变式1】 数学课上，同学们就勾股定理的验证方法展开热烈的讨论．下面是创新小组验证过程的一部分．请你认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整． 如图是两张三角形纸片拼成的图形，其中，，，，，点在线段上，点，在边异侧，拼成的， 试说明：． 验证如下：连接，． ∵点在线段上， ∴． ∵． 【答案】见解析 【分析】由图可结合等积法进行代入求解即可． 解：过程如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查勾股定理的证明，关键是根据图中的面积法进行验证勾股定理即可． 【变式2】如图是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形） 【答案】详见解析 【分析】此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理． 解：证明：∵． ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了勾股定理的证明．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果． 【变式3】 美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”． 如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证． 解：如图， 梯形的面积==， 化简可得：=，得证． 【点拨】此题考查了勾股定理的证明，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果． 类型二、以弦图为背景的计算题 2．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出，，然后根据完全平方公式的变形即可求出结论． 解：小正方形面积= 4个小直角三角形的面积= ∴ ∴ 【点拨】此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、正方形的面积公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键． 举一反三： 【变式1】 如图所示，以的三边为直径分别向外作三个半圆，已如以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半国的面积为． （1）求证：； （2）若将图中半圆改为分别以三边为斜边的等腰直角三角形，如图所示，探究（1）中的结论是否仍成立？ 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析. 【解析】 【分析】（1）根据半圆的面积求法分别求出，，，然后根据勾股定理即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的面积求法分别求出，，，然后根据勾股定理即可得到结论； 解：（1），，， ∵， ； （2）成立， ，，， ∵， . 【点拨】该题主要考查了勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答． 【变式2】勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定