专题1.5 勾股定理的应用（学案讲义）.docx

PAGE PAGE 1 专题1.5 勾股定理的应用（知识讲解） 【学习目标】 （1）利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。 （2）通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念． 【要点梳理】 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题 类型二、应用勾股定理解决旗杆高度 类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离 类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度 类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题 类型六、应用勾股定理解决航海问题 类型七、应用勾股定理解决河的宽度 类型八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题 类型九、应用勾股定理解决汽车是否超速问题 类型十、应用勾股定理解决是否受台风影响问题 类型十一、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题 类型十二、应用勾股定理解决选扯距离相离问题 【典型例题】 类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题 1．如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面米． （1）这个梯子底端离墙有多少米？ （2）如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？ 【答案】（1）7；（2）不是 【分析】（1）由题意得a=24米，c=25米，根据勾股定理a2+b2=c2，可求出梯子底端离墙有多远．（2）由题意得此时a=20米，c=25米，由勾股定理可得出此时的b，继而能和（1）的b进行比较． 解：（1）由题意得此时a=24米，c=25米，根据a2+b2=c2，∴b=7米；（2）不是．设滑动后梯子的底端到墙的距离为b米，得方程，b2+（24-4）2=252，解得b=15，所以梯子向后滑动了8米．综合得：如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向不是滑4米． 【点拨】本题考查勾股定理的应用，有一定难度，注意两问线段的变化． 举一反三： 【变式1】如图：5米长的滑梯AB开始时B点距墙面水平距离3米，当B向后移动1米，A点也随着向下滑一段距离，求A下滑的距离． 【答案】1米 【解析】试题分析：直接利用勾股定理得出AO的长，进而求出OA′的长，即可得出答案． 解：由题意可得：AB=5m，BO=3m，∵当B向后移动1米，∴OB′=4m， 则AA′=1m，答：A下滑的距离为1m． 【变式2】一架梯子长米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？ 【答案】（1）梯子的顶端距地面有2.4米；（2）梯子的底部在水平方向不是滑动了米 【分析】（1）根据Rt△ABC的勾股定理求出AB的长度，从而得出答案； （2）根据题意得出A′C′和A′B的长度，然后根据勾股定理求出BC`的长度，从而得出答案． 解：（1）根据题意可得：AC=2.5米，BC=0.7米，∠ABC=90°， 答：梯子的顶端距地面有2.4米； （2）梯子的底部在水平方向不是滑动了米，理由如下 根据题意可得：A′C′=2.5米，A′B=2.4-0.4=2米， 则CC′=1.5-0.7=0.8米， 即梯子的底端在水平方向滑动0.8米，不是0.4米． 【点拨】本题主要考查的就是直角三角形勾股定理的应用问题，属于简单题型．在解决这个问题的时候首先要明白直角三角形中有哪些线段，然后找出已知的线段和未知的线段，从而利用勾股定理得出线段的长度． 类型二、应用勾股定理解决旗杆高度 2．数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？ 【答案】旗杆的高度为15米． 【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度AB=x米，则绳子的长度AC=(x+2)米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 解：设旗杆高AB=xm，则绳子长为AC=(x+2)m. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°， 由勾股定理得AB2+BC2=AC2， 所以x2+82=(x+2)2. 解得x=15m. 所以旗杆的高度为15米． 【点拨】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解这在几何的计算问题中是经常用到的，请同学们熟记并且能熟练地运用它. 举一反三： 【变式1】八（2）班数学课外活动小组的同学