专题1.1 探索勾股定理（学案讲义）.docxVIP

PAGE PAGE 1 专题1.1 探索勾股定理（知识讲解） 【学习目标】 探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理的内容； 掌握勾股定理的证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 要点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 特别说明：：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. 　 （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 要点三、勾股定理的作用 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 用于解决带有平方关系的证明问题； 利用勾股定理，作出长为的线段. 要点四、勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 特别说明：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长； 　【典型例题】 类型一、用勾股定理解直角三角形 1．如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN与点D，主梁上有两根拉索分别为AB、AC． （1）若拉索，AB、BC的长度分别为10米、26米，则拉索AC＝　 　米； （2）若AB、AC的长分别为13米，20米，且固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度． 【答案】（1）24米；（2）12米 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）根据勾股定理建立方程即可得解． 解：（1）∵，AB、BC的长度分别为10米、26米，由勾股定理得： 故答案为：AC=24米； （2）∵， ∴BD＝21﹣CD， ∵， ∴， ∴， ∴BD＝5， 【点拨】本题考查了勾股定理结合方程的应用；关键在于根据勾股定理建立方程． 【变式】如图，在ABC中，AC=13cm，AB=15cm，BC=14cm，求BC边上的高AD． 【答案】12cm 【分析】设BD=xcm，则CD=(14﹣x)cm，依题意有152﹣x2=132﹣(14﹣x)2，求得x=9，再根据勾股定理求得AD． 解：设BD=xcm，则CD=(14﹣x)cm， 依题意有152﹣x2=132﹣(14﹣x)2， 解得x=9， 故BC边上的高AD为12cm． 【点拨】本题考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，本题关键是求出BD的长． 类型二、勾股（树）数的问题 1．如图,以直角三角形的三边为边分别向外作三个正方形,其中的两个正方形面积为A=25平方厘米 ,C=169平方厘米,求B面积. 【答案】144平方厘米. 【分析】设正方形A，B，C的边长分别为a，b，c，由勾股定理得a2+b2=c2，然后根据a2=25，c2=169即可求出b2，也就是B的面积. 解：设正方形A，B，C的边长分别为a，b，c，则a2+b2=c2， ∵a2=25，c2=169， ∴b2=169-25=144， ∴B面积是144平方厘米. 【点拨】此题考查了勾股定理以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 举一反三： 【变式】 已知△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b. (1)如果a=6，b=8，求c； (2)如果a=12，c=13，求b. 【答案】(1) c＝10　(2) b＝5 【分析】根据勾股定理、代入已知数据计算即可． 解：(1) a=6，b=8， （2）a=1