高考数学母题：周期函数.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(5-41):周期函数(102) 299 周期函数 [母题]Ⅰ(5-41):(2003年北京春招试题)若存在常数p0,使得函数f(x)满足f(px)=f(px-)(x∈R).则f(x)的一个正周期为 . [解析]:由f(px)=f(px-)f(t)=f(t-)f(x)是以T=-为周期的周期函数kT=k(-)(k∈Z)都是f(x)的周期f(x)的一个正周期为p(取k=-2). [点评]:周期函数是一类非常重要的特殊函数,周期性作为函数的一个重要性质是高考的热点,对周期函数的系统认识、把握,从定义开始. 定义:设f(x)定义在数集D上的函数,若存在T≠0,使得对一切x∈D有f(x+T)=f(x),则f(x)称为D上的周期函数,T称为f(x)的一个周期.如果在所有正周期中存在一个最小正数T0,那么T0叫做f(x)的最小正周期. 性质:①如果T是函数f(x)的周期,即f(x+T)=f(x),则对任意的k∈Z,kT也是函数f(x)的周期,即f(kT+x)=f(x);②若f(x)有最小正周期T,则除±nT(n=1,2,…)外,函数f(x)无其他周期; [子题](1):(2010年安徽高考试题)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=( ) (A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2 [解析]:由f(x)是R上周期为5的奇函数f(3)=f(5+(-2))=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(5+(-1))=f(-1)=-f(1)=-1 f(3)-f(4)=-1.故选(A). 注:充分利用周期函数的定义式:f(x+T)=f(x),就是对x进行灵活赋值,从而建立已知与未知的关系,由此解决问题. [子题](2):(2004年福建高考试题)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则( ) (A)f()f() (B)f()f() (C)f(-)f() (D)f(-)f(-) [解析]:由f(x)=f(x+2)f(x)=f(x+4),所以当x∈[-1,1]时,f(x)=f(x+4)=2-|(x+4)-4|=2-|x|函数f(x)在区间[-1, 1]内是偶函数,且在[0,1]上单调递减,由f()f().故选(B). 注:利用周期函数的性质把未知区间内的问题转化为已知区间内的问题是解决周期函数问题的基本方法. [子题](3):(2012年湖南高考试题)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期2π的偶函数,f(x)的导函数,当x∈[0,π]时,0f(x)1;当x∈(0,π),且x≠时,(x-)(x)0,则函数y=f(x)-sinx在[-2π,2π]上的零点个数为( ) (A)2 (B)4 (C)5 (D)8 [解析]:由(x-)(x)0f(x)在(0,)上单调递减,在(,π) y 上单调递增,又当x∈[0,π]时,0f(x)1f(x)在区间[0,π]内的 图像如图;由f(x)是偶函数f(x)在区间[-π,0]内的图像如图;由 O x f(x)是以2π为周期的函数f(x)在区间[-2π,2π]内的图像如图; 在同一坐标系内,作y=sinx的图像知,有4个交点.故选(B). 注:认识并利用周期函数图像的“周期性”是解决周期函数问题的另一基本方法. [子题系列]: 1.(2013年全国大纲试题)设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)=x-2,则f(-1)= . 300 [母题]Ⅰ(5-41):周期函数(102) 2.(2