高考数学母题：积分上限函数及积分函数.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 积分上限函数及积分函数 问题类型及解法 设f(x)在[a,b]中可积,则当x∈[a,b]时,Φ(x)=叫做积分上限函数,一般地,我们把含有定积分的函数称为积分函数, [母题结构]:(积分上限函数的求导定理)设f(x)在[a,b]中可积,若Φ(x)=,x∈[a,b],则(x)=f(x),Φ(x)是f(x)的一个原函数 [解题程序]:积分函数中的定积分有两种形式:①形如的形式,表示常数;②形如的形式,具有蕴含变量的功能，这里一定要分清函数的自变量x与积分变量t. 1.求积分函数 子题类型Ⅰ:(2014年江西高考试题)若f(x)=x2+2,则=( ) (A)-1 (B)- (C) (D)1 [解析]:设=a,则f(x)=x2+2aa==x3+2ax|=+2aa=-.故选(B). [点评]:解决含有的积分函数f(x)的问题程序:①设=m得含参数m的f(x)的解析式;②求定积分代入巳知条件求m;③由f(x)解决相关问题. 2.积分函数的导数 子题类型Ⅱ:(1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)设f(x)是连续函数,且F(x)=,则(x)等于( ) (A)-e-xf(e-x)-f(x) (B)-e-xf(e-x)+f(x) (C)e-xf(e-x)-f(x) (D)e-xf(e-x)+f(x) [解析]:令(x)=f(x),则F(x)==g(e-x)-g(x)(x)=-e-x(x)-(x)=-e-xf(e-x)-f(x).故选(A). [点评]:解决含有的积分函数F(x)=的问题有两条途径:①设f(x)的原函数为g(x),则(x)=f(x),且F(x)=g(x)-g(a),由此解决相关问题;②直接利用(x)=f(x)解决相关问题. 3.积分函数的性质 子题类型Ⅲ:(1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)设F(x)=,则F(x)( ) (A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不为常数 [解析]:由f(x)=esintsint是周期为2π的函数F(x)===+(令t=x-π,则dt=dx,sint=-sinx)=+=-=0(sint0esint- e-sint).故选(A). [点评]:对积分函数的研究,要充分利用定积分的性质和几何意义,本题首先利用周期函数的定积分性质:= ;接着定积分的运算性质:=+;最后由定积分的几何意义:“若在区间(a,b)内,f(x)0,则0”,解决问题. 4.子题系列: 1.(2011年陕西高考试题)设f(x)=,若f(f(1))=1,则a= . 2.(2008年山东高考试题)设函数f(x)=ax2+c(a≠0),若=f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为 . 3.(1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)设f(x)为已知连续函数,I=t,其中t0,s0,则I的值( ) (A)依赖于s和t (B)依赖于s、t和x (C)依赖于t、x,不依赖于s (D)依赖于s,不依赖于t 4.(1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)设f(x)是连续函数,且f(x)=x+2,则f(x)= . 5.(1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)设f(x)连续且=x,则f(7)= . 6.(1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)若连续函数f(x)满足关系式f(x)=+ln2,则f(x)等于( ) (A)exln2 (B)e2xln2 (C)ex+ln2 (D)e2x+ln2 7.(1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)函数F(x)=(x0)的单调减少区间为 . 8.(2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)设函数f(x)=,则(x)的零点个数( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.子题详解: 1.解:由=t3|=a3当x≤0时,f(x)=x+a3;又由f(1)=lg1=0f(f(1))=f(0)=a