高考数学母题：极点极线的比例性质魅力四射的高考试题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 极点极线的比例性质.魅力四射的高考试题 用直线的参数方程证极点与极线的比例性质 由极点与极线的比例定理可得极点与极线的比例性质,而极点与极线的比例性质,可用直线的参数方程给出统一的证明;由极点与极线的比例性质可生成一类魅力四射的高考试题. [母题结构]:(Ⅰ)(比例性质):若过点P(x0,y0)的直线l与曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0相交于A、B两点,与直线l:ax0x+ cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0交于点Q,则+=0. (Ⅱ)推论(向量结论):过点P(x0,y0)的直线与圆锥曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0相交于A、B两点,与直线l:ax0x+cy0y+d(x+ x0)+e(y+y0)+f=0交于点Q,若=λ1,=λ2,则:λ1+λ2=0. [母题解析]:(Ⅰ)(比例性质):设直线l:(t为参数),代入ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0得:(ax0cosθ+ cy0sinθ+dcosθ+esinθ)t+(ax02+cy02+2dx0+2ey0+f)=0tQ=-;代入ax2+cy2+ 2dx+2ey+f=0得:(acos2θ+csin2θ)t2+(2ax0cosθ+2cy0sinθ+2dcosθ+2esinθ)+(ax02+cy02+2dx0+2ey0+f)=0tA+tB=- ,tAtB=tQ=;而+=0tA(tB-tQ)+tB(tA-tQ)= 0tQ=成立; (Ⅱ)推论(向量结论):由比例性质知:若=λ,则:=-λ,故λ1+λ2=λ+(-λ)=0. 1.比例性质 子题类型Ⅰ:(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知抛物线C:y=x2与直线l: y=kx-1没有公共点,设点P为直线l上的动点,过P作抛物线C的两条切线,A、B为切点. (Ⅰ)证明:直线AB恒过定点Q; (Ⅱ)若点P与(Ⅰ)中的定点Q的连线交抛物线C于M、N两点.证明:=. [解析]:(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则抛物线y=x2在点A、B处的切线方程分别为x1x=y+y1、x2x=y+y2,由点P(x0, y0)在这两切线上得:直线AB:x0x=y+y0(注意到:y0=kx0-1)x0x=y+kx0-1直线AB过定点Q(k,1); (Ⅱ)设直线MN:,代入直线AB:x0x=y+y0,得:tQ=;代入y=x2得:t2cos2θ+2(x0cosθ-sinθ)t+x02-2y0=0tA+tB=2,tAtB==tQ=;所以,= =tQ=成立. [点评]:若一直线上的四点P,A,Q,B满足:+=0,则|PA|:|PB|=|QA|:|QB|,反之不成立;圆锥曲线的比例性质,可由直线的参数方程给出统一的证明. 2.比例变式 子题类型Ⅱ:(2009年全国高中数学联赛福建预赛试题)如图,已知圆C:(x-2)2+(y-2)2=2, 过原点O作圆C的两条切线OA、OB,切点依次为A、B,过原点O引直线l交圆C于D、E两点, 交直线AB于点F.(Ⅰ)求直线AB的方程; (Ⅱ)求证:+=. [解析]:(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),圆C:(x-2)2+(y-2)2=2x2+y2-4x-4y+6=0圆C在A处的切线:x1x+y1y-2(x+x1)-2(y+ y1)+6=0,又因该切线过原点O(0,0)x1+y1-3=0;同理可得:x2+y2-3=0直线AB:x+y-3=0; (Ⅱ)设直线l:(t为参数),代入x+y-3=0得:(sinθ+cosθ)t=3|OF|=t=;代入(x-2)2+(y-2)2=2得: t2-4(sinθ+cosθ)t+6=0t1+t2=4(sinθ+cosθ),t1t2=6+=+==(sinθ+cosθ)=. [点评]:若一直线上的四点P,A,Q,B满足:+=0,则+=;特别地,当直线PQ过圆锥曲线的对称中心O时,|OA|=|OB|,则|OA|2=|OP||OQ|. 3.向量结论 子题类型Ⅲ:(2007年福建高考试题)己知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点, 过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且=. (Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程; (Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,已知=λ1,=λ2, 求λ1+λ2的值. [解析]:(Ⅰ)由=(+)=0(-)(+)=02-2=0||=||动点P的轨迹C是以点F(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线轨迹C:y2=4x; (Ⅱ)设直线AB:(t为参数),则tM=-;将代入y2=4x得:t2sin2θ-4tcosθ-4=0tA+tB