高考数学母题：周期零点.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(5-45):周期零点(106) 315 周期零点 [母题]Ⅰ(5-45):如果函数f(x)是以T为周期的奇函数,则f()=0; [解析]:由函数f(x)是以T为周期的奇函数f(x+T)=f(x),令x=-得:f()=f(-)f()=-f()f()=0. [点评]:该母题较为隐蔽,以至于高考命题专家因未发现母题而出错(见子题⑴),并且由此可生成如下结论:①f(x)是定义在R上的以T为周期的奇函数,且f(a)=0(a≠,aT),则方程f(x)=0在区间(0,2T)内解的个数的最小值是7(由f(0) =0f(T)=0;由f(a)=0f(T+a)=f(a)=0,f(T-a)=f(-a)=-f(a)=0,f(2T-a)=f(-a)=0;f()=f()=0x=,,T,a,T -a,T+a,2T-a共7解);②f(x)是定义在R上的以T为周期的偶函数,且f(a)=0(a≠,aT),则方程f(x)=0在区间(0,2T)内解的个数的最小值是4(如f(x)=cos(2πx)的最小正周期T=1,f(x)=02πx=kπ+x=+(k∈Z)在(0,2)内有x=,,,计4解);③f(x)是定义在R上的以T为周期的奇函数,则f()=0(n∈Z);④f(x)是定义在R上的以T为周期的偶函数,则f(nT)=0(n∈Z). [子题](1):(2005年福建高考试题)(理)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 [解析]:本题是错题,表现在选择支中没有正确的选项.因由f(0)=0f(3)=0;f(2)=0f(5)=0;f(4)=f(1)=f(-2)=- f(2)=0;又f(x)是以3为周期的奇函数f()=0f(+3)=0,在(0,6)内己有1,,2,3,4,,5共7个解. 注:造成该题错误的原因是命题者没有发现母题,由母题可得另外的两解、.改变选择支该题可成为高考好题, [子题](2):(2007年安徽高考试题)定义在R上的函数f(x)既是奇函数,又是周期函数.T是它的一个正周期.若将方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数记为n,则n可能为( ) (A)0 (B)1 (C)3 (D)5 [解析]:由f()=0,令-T≤≤T-2≤n≤2n=-2,-1,0,1,2.共五个,故选(D). 注:显然该题改正于2005年福建高考试题,关且直接取自母题,是2007年安徽高考试题选择题中的压轴.抽象函数问题是安徽高考的特色问题. [子题](3):(2006年山东高考试题)己知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 [解析]:由f(x+2)=-f(x)f(x+4)=-f(x+2)=f(x)f(x)是以T=4为周期的奇函数f(2)=0f(6)=f(2)=0.故选(B). 注:由f(x+a)=-f(x)f(x)是以T=2a为周期的周期函数,但反之不成立,因此,满足f(x+a)=-f(x)的函数必然有其特别的性质,如:f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+a)=-f(x),则f()=0(n∈Z). 316 [母题]Ⅰ(5-45):周期零点(106) [子题系列]: 1.(1995年希望杯数学竞赛高一试题)f(x)是定义在R上的奇函数,它的最小正周期为2,则f(1)+f(2)+…+f(1995)等于( ) (A)1或0 (B)1