高考数学母题：极点极线的比例定理高考试题的无限精彩.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 极点极线的比例定理.高考试题的无限精彩 极点与极线的比例定理及推论 极点与极线蕴藏着丰富的性质,她们是高考命题挖掘的矿藏;其中,极点与极线的比例定理及推论就是一个典型,以比例定理及推论,可命制许多美妙绝伦的高考试题,使得高考试题更加精彩. [母题结构]:(比例定理):若点P关于圆锥曲线G的极线为l,过点P的直线与圆锥曲线G相交于A、B两点,分别过点A、B作直线l的垂线,垂足分别为D、C,则:; 推论Ⅰ(中点性质):若圆锥曲线G过点P的弦AB平行于点P的极线,则点P是弦AB的中点; 推论Ⅱ(平分性质):若点P关于圆锥曲线G的极线为l,过点P的直线与圆锥曲线G相交于A、B 两点,分别过点A、B、P作直线l的垂线,垂足分别为D、C、H,则AC与BD的交点M平分PH; 推论Ⅲ(面积关系):已知点P关于圆锥曲线G的极线为l,过点P的直线与圆锥曲线G相交于A、B两点,分别过点A、B的两条平行线与直线l交于点D、C,记△APD、△CPD、△BPC的面积分别为S1,S2,S3,则:S22=4S1S2. [母题解析]:以抛物线G:y2=2px(p0)为例:设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则极线l:y0y=p(x+x0),= (注意到:y12=2px1,y22=2px2)==(注意到:==k)= ,而=,故以下只需证明:=1,即|ky1-p|=|ky2-p|k(y1+y2)=2p,由(y1-y2)(y1 +y2)=2p(x1-x2)(注意到:y1-y2=k(x1-x2))k(y1+y2)=2p,证毕; 推论Ⅰ:分别过点A、B作极线l的垂线,垂足分别为D、C,弦AB平行于点P的极线lAD=BC,由AP:BP=AD:BCAP=BP点P是弦AB的中点; 推论Ⅱ:因AD:BC=AP:BP,由AD∥BCAD:BC=AM:MCAP:BP=AM:MCPM∥BCM在PH上;又由PH∥BCPM:BC=AM:AC= DM:DB=MH:BCPM=MHM平分PH; 推论Ⅲ:分别过点A、B作l的垂线,垂足分别为D1、C1,则=,由△ADD1∽△BCC1=,设AC与BD交于点Q,由AD∥BC==PQ∥BC∥ADS△BAC=S△BDC,两边同减S△BQC得S△QAB=S△QDC,又因S△PQA=S△PQD,S△PQB=S△PQCS△PCD=S△QCD+S△PQD+S△PQC=S△QCD+S△PQA+S△PQB=S△QCD+S△QAB=2S△QABS△QAD=S△PAD=S1,S△QBC=S△PBC=S3,S△QAB=S△PCD=S2,注意到:==1=S△QADS△QBCS22=4S1S2. 1.中点性质 子题类型Ⅰ:(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)过直线l:5x-7y-70 =0上的点P作椭圆+=1的两条切线PM、PN,切点分别为M、N. (Ⅰ)当点P在直线l上运动时,证明:直线MN恒过定点Q; (Ⅱ)当MN∥l时,定点Q平分线段MN. [解析]:(Ⅰ)设P(x0,y0),则5x0-7y0-70=0,且直线MN:+=163x0x+25(5x0-70)y=1575(63x+125y)x0=1750y+ 1575;令63x+125y=0,且1750y+1575=0x=,y=-直线MN恒过定点Q(,-); (Ⅱ)当MN∥l时,直线MN:5x-7y-=0;而以点Q(,-)为中点的弦:-=()2+(-)2,即5x-7y- =0定点Q平分线段MN. [点评]:极点与极线的中点性质较直观的揭示了极点与极线的位置关系;利用极点与极线的中点性质可妙解圆锥曲线的中点弦问题:圆锥曲线中点弦的斜率=中点对应极线的斜率. 2.平分性质 子题类型Ⅱ:(2001年广东、河南高考试题)已知椭圆+y2=1的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BC∥x轴.求证:直线AC经过线段EF的中点. [解析]:由F(1,0),E(2,0)EF的中点M(,0);设A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB:x=ty+1,则C(2,y2),将x=ty+1代入x2+2y2=2得:(t2+2)y2+2ty-1=0y1+y2= -,y1y2=-y1+y2=2ty1y2;由kAM==,kCM=2y2,则直线AC 经过线段EF的中点MkAM=kCM=2y2y1=2ty1y2-y2y1+y2=2ty1y2成立.故直线AC经过线段EF的中点. [点评]:极点与极线的平分性质可对任意圆锥曲线的任意极点与极线均成立(不仅仅是极点在对称轴上的情况),极点与极线的平分性质可由极点与极线的比例定理,采用钝几何的方法证明. 3