高考数学母题：周期函数及其性质.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 周期函数及其性质 解决函数不等式问题的一个技法 周期函数作为三角函数周期性的拓展,它是一类非常重要的特殊函数,也是高考的热点,对周期函数的系统认识、把握,从定义开始:设f(x)是定义在数集D上的函数,若存在T≠0,使得对一切x∈D有f(x+T)=f(x),则称f(x)为D上的周期函数,T称为f(x)的一个周期;如果在所有正周期中存在一个最小正数T0,那么T0叫做f(x)的最小正周期.我们归纳周期函数的基本性质如下: [母题结构]:(Ⅰ)如果T是函数f(x)的周期,即f(x+T)=f(x),则对任意的k∈Z,且k≠0,kT也是函数f(x)的周期,即f(kT+ x)=f(x); (Ⅱ)若f(x)有最小正周期T,则函数f(x)的周期集合{±nT,n=1,2,…}. [母题解析]:(Ⅰ)当k0时,用数学归纳法证明:①当k=1时,f(kT+x)=f(x+T)=f(x)成立;②假设f(kT+x)=f(x),则f[(k+ 1)T+x]=f[kT+(T+x)]=f(x+T)=f(x)成立;当k0时,由f(x+T)=f(x)f(x)=f(x-T)-T也是函数f(x)的周期f(kT+x)= f[(-k)(-T)+x]=f(x); (Ⅱ)由(Ⅰ)知±nT(n=1,2,…)都是函数f(x)的周期,假设存在T0,使得f(x+T0)=f(x),且T0{±nT,n=1,2,…};①当T00时,则存在k∈N,使得kTT0(k+1)T,由f(T0-kT+x)=f(-kT+x)=f(x)T0-kT是f(x)的周期,但0T0-kTT,这与T是f(x)的最小正周期矛盾;②当T00时,则存在负整数k,使得(k-1)TT0kT,由f[T0-(k-1)T+x]=f[-(k-1)T+x]=f(x)T0-(k-1)T是f(x)的周期,但0T0-(k-1)TT,这与T是f(x)的最小正周期矛盾. 1.利用周期性质求函数值 子题类型Ⅰ:(2010年安徽高考试题)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=( ) (A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2 [分析]:由f(x)是R上周期为5的奇函数f(x+5)=f(x),令x=-2,可求f(3),令x=-1,可求f(4). [解析]:由f(x)是R上周期为5的奇函数f(3)=f(5+(-2))=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(5+(-1))=f(-1)=-f(1)=-1 f(3)-f(4)=-1.故选(A). [点评]:充分利用周期函数的定义式:f(x+T)=f(x),对x进行灵活赋值,从而可建立已知与未知的关系,由此解决问题. 2.利用周期性质进行转化 子题类型Ⅱ:(2004年福建高考试题)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则( ) (A)f()f() (B)f()f() (C)f(-)f() (D)f(-)f(-) [分析]:由f(x)=f(x+2)f(x)=f(x+4)当x∈[-1,1]时,f(x)=2-|x|,由此解决问题. [解析]:由f(x)=f(x+2)f(x)=f(x+4),所以当x∈[-1,1]时,f(x)=f(x+4)=2-|(x+4)-4|=2-|x|函数f(x)在区间[-1, 1]内是偶函数,且在[0,1]上单调递减,由f()f().故选(B). [点评]:利用周期函数的性质把未知区间内的问题转化为已知区间内的问题是解决周期函数问题的基本方法. 3.利用周期函数图像解题 子题类型Ⅲ:(2012年湖南高考试题)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,(x)是f(x)的导函数,当x∈[0,π]时,0f(x)1;当x∈(0,π),且x≠时,(x-)(x)0,则函数y=f(x)-sinx在[-2π,2π]上的零点个数为( ) (A)2 (B)4 (C)5 (D)8 [分析]:解决本题的最佳方法是图解法,而作出最小正周期为2π的偶函数f(x)的图像是解决问题的关键. [解析]:由(x-)(x)0f(x)在(0,)上单调递减,在(,π) 上单调递增,又当x∈[0,π]时,0f(x)1f(x)在区间[0,π]内的 图像如图;由f(x)是偶函数f(x)在区间[-π,0]内的图像如图;由