高考数学母题：活跃在高考中的三角形三线问题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 活跃在高考中的三角形三线问题 以三角形三线为背景的高考试题 三角形的三线:高线、中线和角平分线;以三角形及三线构成的几何图形是高考命题的基本图,而三角形的三线问题是高考的重要问题,它们之间既有联系,又有区别,其中,三角形的三线长统一公式如下. [母题结构]:(三线长统一公式)在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C,所对的边长,P是边BC上一点,且=λ,则AP2=λ(λ-1)a2+λb2+(1-λ)c2. [母题解析]:(Ⅰ)由=+=+λAP2=||2=(+λ)2=2+ 2λ+λ22=2-2λ+λ22=c2-λ(a2+c2-b2)+λ2a2=λ(λ-1)a2+ λb2+(1-λ)c2. 当P是BC的中点F时,λ=,可得中线公式:AF2=-a2+(b2+c2),由此易得阿波罗 尼定理:平行四边形四边的平方和等于两对角线的平方和;当AP是∠A的平分线AE时, λ=,可得平分线公式:AE2=;利用三角形面积公式,更易求三角形的高. 1.高线问题 子题类型Ⅰ:(1978年全国高考试题)已知△ABC的三内角的大小成等差数列,tanAtanC=2+,求角A,B,C的大小.又已知顶点C的对边c上的高等于4.求三角形各边a,b,c的长. [解析]:由A,B,C成等差数列B=600;tanAtanC=2+及tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC tanA+tanC=3+tanA=1,tanC=2+A=450,C=750;由a==8,b==4,c =asinB+bsinA=4+4. [点评]:三角形的一条高把三角形分割为两个直角三角形,灵活运用直角三角形的性质,是解决与三角形高有关问题的关键,其中,利用三角形面积公式,或设高,利用直角三角形中的三角函数,建立关于高的方程,是求三角形高的基本方法. 2.中线问题 子题类型Ⅱ:(2006年全国Ⅱ高考试题)己知△ABC中,∠B=450,AC=,cosC=. (Ⅰ)求BC边的长; (Ⅱ)记AB的中点为D,求中线CD的长. [解析]:(Ⅰ)由cosC=sinC=sinA=sin(B+C)=sin(450+C)=(sinC+cosC)=BC==3; (Ⅱ)由AB==2BD=AB=1;又由CD2=BD2+BC2-2BDBCcosB=13CD=. [点评]:关于三角形的中线问题有两种基本解法:①取另一边的中点,构造中位线,并利用中位线的性质,把相关条件集中到某一个三角形中,从解这个三角形起,解决问题;②倍长中线,构造平行四边形解决问题. 3.角平分线 子题类型Ⅲ:(2013年课标Ⅱ高考理科试题)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍. (Ⅰ)求; (Ⅱ)若AD=1,DC=,求BD和AC的长. [解析]:(Ⅰ)由AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍ABADsin∠BAD=2ACADsin∠CADAB=2AC ==; (Ⅱ)由△ABD面积是△ADC面积的2倍BD=2DC=,设∠ADC=θ,则∠ADB=π-θ,由AB2=AD2+BD2-2ADBDcos∠ADB=3+ 2cosθ,AC2=AD2+DC2-2ADDC∠ADC=-cosθAB2+2AC2=6;又由AB=2ACAC=1. [点评]:关于三角形的角平分线问题,首先应掌握角平分线定理:若AD是△ABC内角A的平分线,则AB:AC=BD:DC;其次是充分利用AD将内角A等分为两锐角θ,由此利用相关公式,解决问题. 4.子题系列: 1.(2011年安徽高考试题)在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C,所对的边长,a=,b=,1+2cos(B+C)=0,求边BC上的高. 2.(2004年全国Ⅱ高考试题)己知锐角三角形ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=. (Ⅰ)求证:tanA=2tanB; (Ⅱ)设AB=3,求AB边的高. 3.(2005年湖北高考试题)在△ABC中,己知AB=,cosB=,AC边上的中线BD=,求sinA的值. 4.(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题)在△ABC中,AB=BCAC,AH与AM分别为BC上的高线和中线, =.试确定cos∠BAC的值. 5.(2013年课标Ⅱ高考文科试题)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC. (Ⅰ)求; (Ⅱ)若∠BAC=600,求∠B. 6.(2011年“卓越联盟”自主招生数学试题)在△ABC中,AB=2AC,AD是A的角平分线,且AD=kAC. (Ⅰ)求k的取值范围; (Ⅱ)若S△ABC=1,问k为何值时,BC最短？ 5.子题详解: