高考数学母题：周期模型.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(5-42):周期模型(103) 303 周期模型 [母题](5-42):若对于任意实数x函数f(x)满足:f(x+a)=(a≠0),则f(x)是以T=6a为周期的周期函数. [解析]:由f(x+a)=f(x+2a)==f(x+3a)=f(x+6a)==f(x)f(x)是以T=6a为周期的周期函数. [点评]:常见的周期函数模型:①若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)+f(x)=c(c为常数),则f(x)是周期T=2a的周期函数;②若f(x +a)=(k≠0),则f(x)是周期T=2a的周期函数;③若f(x+a)+f(x-a)=2cosf(x),则f(x)是周期T=2ka的周期函数;④若f(x+a)=,则f(x)是周期T=ka的周期函数. [子题](1):(1996年全国高考试题)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于( ) (A)0.5 (B)-0.5 (C)1.5 (D)-1.5 [解析]:由f(x+2)=-f(x)f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)f(x)是周期T=4的周期函数f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5) -0.5.故选(B). 注:本题是母题中的模型①;解决周期函数问题的关键是根据母题中的模型,求周期. [子题](2):(2006年安徽高考试题)设数f(x)对任意实数x满足f(x+1)=.若f(1)=-5,则f(f(5))= ; [解析]:由f(x+1)=f(x+2)==f(x)函数f(x)的同期为2,f(f(5))=f(f(1))=f(-5)=f(1)=-5. 注:本题是母题中的模型②;已知f(x+a)=F(f(x))是周期函数,求f(x)周期的一般方法是倍乘常数:即由已知先求f(x+ 2a),再求f(x+4a),…,直至f(x+ka)=f(x),得周期T=ka. [子题](3):(2009年山东高考试题)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=,则f(2009)的值为( ) (A)-1 (B)-2 (C)1 (D)2 [解析]:由f(x)=f(x-1)-f(x-2)(x0)当x1时,f(x+1)=f(x)-f(x-1)=f(x)-[f(x)+f(x-2)]=-f(x-2)当x3时,f(x +3)=-f(x)当x6时,f(x+6)=f(x)f(2009)=f(3346+5)=f(5)=f(4)-f(3)=[f(3)-f(2)]-f(3)=-f(2)=-[f(1)-f(0)]= -f(1)=-[f(0)-f(-1)]=f(-1)=1.故选(C). 注:本题是母题中的模型③;在此应当注意的是:在什么范围内,函数具有周期性. [子题系列]: 1.(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设f(x)是区间(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+3)=-f(x),当0≤x≤时,f(x)=x,则f(1997)等于( ) (A)1 (B)0 (C)-1 (D)1997 304 [母题]Ⅰ(5-42):周期模型(103) 2.(2004年全国高中数学联赛四川预赛试题)已知f(x)对任意的整数x都有f(x+2)=f(x-2),若f(0)=2003,则f(2004)=( ) (A)2002 (B)2003 (C)2004 (D)2005 3.(2009年全国高中数学联赛山东预赛试题)若对任意的x∈R,函数f(x)满足