高考数学母题：已知二次型条件求线性目标函数值域.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 已知二次型条件,求线性目标函数值域 一类线性目标函数值域的求法 在近几年的高考中,悄然兴起:“已知二次型条件,求线性目标函数值域”型问题,为充分研究该类型问题,我们构造母题如下: [母题结构]:己知ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(a2+b2+c2≠0,b2-4ac≠0),求mx+ny(mn≠0,an2-bmn+cm2≠0)的取值范围. [解题程序]:令mx+ny=t,代入ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0得:(an2-bmn+cm2)x2+(bnt-2cmt+dn2-emn)x+(ct2+ent+fn2)=0Δ=(bnt-2cmt+dn2-emn)2-4(an2-bmn+cm2)(ct2+ent+fn2)≥0(b2-4ac)t2+(2bdn-4cdm-4aen)t+[(dn-em)2-4(an2-bmn+cm2)f]≥0,解此关于t的一元二次不等式,可得t,即mx+ny的取值范围. 特别地,当b=0,即己知条件中,不含xy项时,可以通过配方,或用三角换元法,或寻找几何意义求解. 1.解题基本程序 子题类型Ⅰ:(2010年重庆高考试题)已知x0,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( ) (A)3 (B)4 (C) (D) [分析]:本题是母题的直接子题,由直接套用母题的解题程序可得解. [解析]:令x+2y=t(t0),则x=t-2y,代入x+2y+2xy=8得:4y2-2ty+8-t=0Δ=4t2-16(8-t)≥0t2+4t-32≥0(t+8)(t -4)≥0t≥4x+2y≥4.等号当且仅当t=4,y=1,即x=2,y=1时成立x+2y的最小值是4.故选(B). [点评]:对于母题,只要设定a,b,c,d,e,f,m,n的值,即可命制绝妙的子题,且解题程序不变. 2.Δ=0的条件 子题类型Ⅲ:(2014年辽宁高考试题)对于c0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为 . [分析]:令2a+b=t,由已知可求得|t|最大值,当|t|取最大值时,Δ=0,由此,用t表示a,b,c-+是t的函数. [解析]:令2a+b=t,把b=t-2a代入4a2-2ab+4b2-c=0得:24a2-18ta+4t2-c=0Δ=(-18t)2-96a2(4t2-c)≥0t2≤c;等号成立时,c=t2,a=t,b=t-+=-+=8(-)2-2≥-2;当t=2,即a=,b=,c=时,等号成立. [点评]:本题的亮点是充分利用Δ=0,即取得最大值,或最小值的条件,再构造最值问题,此题开创了命题的新方法. 3.构造二次条件 子题类型Ⅱ:(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知x,y均为正实数,则+的最大值是 . [分析]:令a=,b=,消去x,y得3ab-2a-2b+1=0,问题转化为在此条件下,求a+b的最大值. [解析]:设a=,b=,a+b=t,则=2+,=2+(-2)(-2)=1(1-2a)(1-2b)=ab3ab-2a-2b+1=0 3a(t-a)-2a-2(t-a)+1=03a2-3ta+2t-1=0Δ=(3t)2-12(2t-1)≥03t2-8t+4≥0t≤或t≥2;又t=+ ==1t≤+的最大值是. [点评]:对于求形如f(x)+g(y)的最值问题,我们可以令f(x)=a,g(y)=b,然后,消去x,y得关于a,b的二次条件求解. 4.子题系列: 1.(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知a2+b2=1,且ca+b恒成立,则c的取值范围是 . 2.(1987年广东高考试题)如果实数x,y满足等式:x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值为( ) (A) (B)10 (C)9 (D)5+2 3.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)实数x,y满足方程x2+y2=6x-4y-9,则2x-3y的最大值与最小值的和等于 . 4.(2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知椭圆=1上的任意一点P(x,y)可使x+2y+m≥0恒成立,则实数m的取值范围是 . 5.(2011年浙江高考试题)设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是