高考数学母题：应用分析.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(13-13):应用分析(308) 769 应用分析 [母题]Ⅰ(13-13):(2010年北京高考试题)某班设计了一个八边形的班徽,如图: 它由腰长为1,顶角为α的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为( ) (A)2sinα-2cosα+2 (B)sinα-cosα+3 (C)3sinα-cosα+1 (D)2sinα-cosα+1 [解析]:图中每个等腰三角形的面积=sinα,正方形的面积=2-2cosα该八边形的面积2sinα-2cosα+2.故选(A). [点评]:解三角形的应用广泛的应用于中学数学中,是解三角形的一个研究中心,解三角形的应用可分为几何应用和测量应用,本母题研究几何应用. [子题](1):(2012年四川高考试题)如图,正方形ABCD的边长为 1,延长 BA至 E,使AE=1, 连接 EC、 ED,则sin∠CED= . [解析]:由CD=1,ED=,EC=cos∠CED=sin∠CED=.故选(B). 注:给出特殊的多边形,求其中的线段长或角是三角形应用的主要方面,其基本思想:首先确定一个基底三角形,把题给条件集中于基底三角形,由基底三角形开始,逐步求解. [子题](2):(2010年课标高考试题)(理)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=DC,∠ADB=1200, AD=2,若△ADC的面积为3-,则∠BAC= . [解析]:由ADDCsin600=3-DC=2(-1)BD=-1AC=(-1),AB=cos∠BAC=∠BAC=. 注:由△ABC及边BC上的一点D与点A的连线AD构成的几何图形是高考的母题图形,对此,除基底三角形法外,还可利用∠ADB+∠ADC=π,分别在ΔABD、ΔACD中,利用余弦定理求解. [子题](3):(2009年北京大学自主招生试题)圆内接四边形ABCD中,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求ABCD的外接圆半径. [解析]:设∠BAD=θ,则∠BCD=π-θ,设四边形ABCD外接圆半径为R.在△ABD中, BD2=AB2+AD2-2AB ADcosθ=17-8cosθ,在△BCD中,BD2=13-12cos(π-θ)=13+12cosθ17-8cosθ=13+12cosθ cosθ=sinθ=,BD=.在△ABD中,由正弦定理知:2R=R=. 注:解圆内接四边形是三角形应用的典型问题,对此,需充分利用圆内接四边形的性质,尤其是对角互补. [子题系列]: 1.(2008年课标高考试题)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为 . 2.(2006年辽宁高考试题)己知等腰△ABC的腰为底的2倍,则顶角A的正切值是 . 3.(2012上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)如图,△AEF是边长为x的正方形ABCD的内接三角形, 已知∠AEF=900,AE=a,EF=b,ab,则x= . 4.(2013年全国高中数学联赛贵州预赛试题,2013年福建高考试题)如图,在△ABC中,已知点D在BC 边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为 . 5.(2010年课标高考试题)(文)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=,∠ADB=1350.若AC=AB,则BD= . 6.(2011年福建高考试题)如图,△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D在BC边上∠ADC=450, 则AD的长度等于 . 770 [母题]Ⅰ(13-13):应用分析(308) 7.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)如图,在△ABC中,已知∠B=400,∠BAD=300. 若AB=CD,则∠ACD的大小为 (度). 8.(2011年天津高考试题)如图,在△ABC中,D为边BC上一点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD, 则sinC的值为 . 9.(2001年美国犹他州高中数学竞赛试题)在四边形ABCD中,AB=4,BC=1