高考数学母题：已知二次型条件求二次型目标函数值域.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 已知二次型条件,求二次型目标函数值域 一类二次型目标函数值域的统一解法 归纳一类试题的一般结构,构造该类试题的一般性问题,寻找一般性问题的易于掌握,便于操作的解题程序,是构造母题的基本方法. [母题结构]:己知实数x,y满足:Ax2+Bxy+Cy2=D(D≠0),求ax2+bxy+cy2的取值范围. [解题程序]:①作F(x,y)=ax2+bxy+cy2=ax2+bxy+cy2+λ(Ax2+Bxy+Cy2=D)=(a+λA)x2+(b+λB)xy+(c+λC)y2-λD;②令Δ= (b+λB)2-4(a+λA)(c+λC)=0,求λ,得F(x,y)=(a+λA)[x+y]2-λD;③由[x+y]2≥0,并选择λ的值,求F(x,y)的取值范围. 1.解题程序 子题类型Ⅰ:(1993年全国高中数学联赛试题)实数x,y满足4x2?5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则= . [解析]:作F(x,y)=x2+y2=x2+y2+λ(4x2?5xy+4y2-5)=(1+4λ)x2-5λxy+(1+4λ)y2-5λ,令Δ=(-5λ)2-4(1+4λ)2=0λ=- ,戓λ=-;当λ=-时,F(x,y)=-(x-y)2+S=x2+y2≤,当且仅当x=y=时,等号成立Smax=;当λ=-时,F(x,y)=(x+y)2+≥,当且仅当x=-y=时,等号成立Smin==. [点评]:母题应用有三步曲:①引入参数λ,构造函数F(x,y);②配成完全平方式,即令Δ=0求λ;③由λ的值,解决问题. 2.注意事项 子题类型Ⅱ:(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若x、y为实数,且x2+xy+y2=3,则x2-xy+y2的最大值和最小值分别为 . [解析]:作F(x,y)=x2-xy+y2=(x2-xy+y2)+λ(x2+xy+y2-3)=(1+λ)x2+(λ-1)xy+(1+λ)y2-3λ;令Δ=(λ-1)2-4(1+λ)2=0 λ=-,戓λ=-3;当λ=-时,F(x,y)=(x-y)2+1≥1,当且仅当x=y=1时,等号成立F(x,y)的最小值=1;当λ=-3时,F(x,y)=-2(x+y)2+9≤9,当且仅当x=-y=时,等号成立F(x,y)的最大值=9. [点评]:由完全平方式等于0时,要验证是否符合题目条件,即验证F(x,y)是否能取得最大(小)值. 3.变式应用 子题类型Ⅲ:(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试试题)x,y∈R,且x2-y2=2,则当有序数对(x,y)为 时,|2x+3y|取得最小值 . [解析]:作F(x,y)=|2x+3y|2=(2x+3y)2+λ(2x2-9y2-4)=(4+2λ)x2+12xy+9(1-λ)y2-4λ,令Δ=144-36(4+2λ)(1-λ)=0 λ=0,戓λ=-1;当λ=0时,F(x,y)=(2x+3y)2≥0,但等号不成立;当λ=-1时,F(x,y)=2(x+3y)2+4≥4|2x+3y|≥2,当且仅当x=2,y=时,等号成立当(x,y)=(2,-),戓(-2,)时,|2x+3y|取得最小值2. [点评]:利用母题求目标函数mx+ny2的取值范围,可构造函数F(x,y)=(mx+ny)+λ(Ax2+Bxy+Cy2-D),解决问题. 4.子题系列: 1.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)若x,y∈R,且x2+2xy?y2=3,则x2+y2的最小值是 . 2.(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)实数x,y满足x2-3xy+y2=2,则x2+y2的值域是 . 3.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)若x、y为实数,且x2+2xy?y2=7,则x2+y2的最小值为_____. 4.(2013年浙江大学自主招生试题)若x2+2xy-y2=7(x,y∈R),求x2+y2的最小值. 5.(1997年莫斯科大学招生试题)已知x2-xy+2y2=1,求表达式x2+2y2的最大值与最小值. 6.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知a、b为实数,且a2+ab+b2=3.若a2-ab+b2的最大值是m,最小值是n,求m+n的值. 7.(2010年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知实数a,b满足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2,则t的最大值和最小值的积为 . 8.(2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)若2x2-2xy+y2=1,则x+2y的取值范围是( ) (A)[-5,5] (B)(-5,5)