高考数学母题：周期数列.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(10-31):周期数列(224) 607 周期数列 [母题]Ⅰ(10-31):(2001年上海春抬试题)若数列{an}前8项的值各异,且an+8=an对任意的n∈N+都成立，则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为( ) (A){a2k+1} (B){a3k+1} (C){a4k+1} (D){a6k+1} [解析]:由{a2k+1}取不到a2k{a2k+1}的子列{a4k+1},{a6k+1}也取不到a2k.故选(B). [点评]:周期数列:㈠定义:对于数列{an},如果存在一个常数T(T∈N+),使得对任意的正整数n,恒有an+T=an,则称数列{an}为以T为周期的周期数列;一个周期数列中所有正周期的最小值称为最小正周期;㈡性质:①如果T是周期数列{an}的周期,则kT(k∈N+)也是数列{an}的周期;②周期数列必有最小正周期(周期函数不一定有最小正周期);③如果数列{an}的最小正周期为T,且n=kT+r(0≤r≤T-1),则an=ar;④如果数列{an}的最小正周期为T,且n=kT+r(0≤r≤T-1),则数列{an}的前n项和Sn=kST+Sr. [子题](1):(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知数列{an}中,an为实数,且对n≥3,n∈N,都有an=an-1-an-2.若该数列前1985项之和为1000,前1995项和为4000,那么,该数列前2002项之和为 . [解析]:设a1=a,a2=b,由an=an-1-an-2an+3=an+2-an=(an+1-an)-an=-anan+6=-an+3=an{an}是以T=6为周期的周期数列,且a3= b-a,a4=-a,a5=-b,a6=a-bS6=0;由S1985=S6×330+5=330S6+S5=b-a=1000,S1995=332S6+S3=2b=4000b=2000,a=1000S2002=333S6+ S4=2b-a=3000. 注:若数列{an}:an+2=pan+1+qan的特征方程x2=px+q无实根,则数列{an}是周期数列. [子题](2):(2005年湖南高考试题)己知数列{an}满足a1=0,an+1=(n∈N*),则a20=( ) (A)0 (B)- (C) (D) [解析]:由an+1=an+2==-an+4=-==an+1{an}是以T=3为周期的周期数列a20=a2=-.故选(B). 注:若数列{an}:an+2=的特征方程x=无实根,则数列{an}是周期数列. [子题](3):(1992年全国高中数学联赛试题)设数列a1,a2,?,an,?满足a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数n,都有 anan+1an+2?1,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则a1+a2+?+a100的值是 . [解析]:由a1=a2=1,a32,anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3a4=4,anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4 (an+4-an)an+1an+2an+3=an+4-anan+4=an{an}是以T=4为周期的周期数列a1+a2+?+a100=25(1+1+2+4)=200. 注:在数列{an}中,①若任何连续k项的和为定值,则数列{an}是以T=k为周期的周期数列;②若任何连续k(k≥2)项的积等于常数,则数列是以T=k为周期的周期数列;③若任何连续k(k≥2)项的和等于它们的积,且任何连续k-1项的积都不等于1,则数列是以T=k为周期的周期数列. [子题系列]: 1.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在数列{an}中,a1=13,a2=56,对所有自然数n,都有an+1=an+an+2,则a1994= . 2.(2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)数列