高考数学母题：已知三角形内角三角函数关系求内角.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 已知三角形内角三角函数关系,求内角 利用三角形内角三角变换解题 已知三角形内角三角函数关系,求内角大小的问题是高考的热点问题,解答该类问题需要综合运用三角形内角定理、三角变换公式和三角形中的两定理(正余弦定理)、一公式(面积公式). [母题结构]:在△ABC中,已知内角三角函数满足的条件,求内角的大小. [解题程序]:解答该类问题的基本思路是:利用三角形中的三内角关系,逐步简化条件或减少待求式中的角的个数,直至得到待求角的三角函数值或待求角的三角函数关系,由此求内角的大小. 1.由特殊余弦值求角 子题类型Ⅰ:(2012年安徽高考试题)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,且有2sinBcosA= sinAcosC+cosAsinC.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长. [解析]:(Ⅰ)由2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC2sinBcosA=sin(A+C)2sinBcosA=sinB(sinB≠0)cosA=,又由A∈(0,π)A=;(Ⅱ)取AC的中点E,则AE=b=1,DE=c=,DE∥AB∠AED=π-∠BAC=;在△ADE中,AD=. [点评]:在ΔABC中,已知内角余弦值或正切值的特殊值,则满足条件的内角是唯一的. 2.由特殊正弦值求角 子题类型Ⅱ:(2012年全国高考试题)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求C. [解析]:由cos(A-C)+cosB=1cos(A-C)-cos(A+C)=1sinAsinC=;又a=2csinA=2sinCsinC=(由a=2cc aCA)C=. [点评]:在ΔABC中,已知内角正弦值的特殊值,则满足条件的内角可能有两个(这两个角互补),因此需根据题目条件验证取舍,通常根据大边对大角进化. 3.由三角函数关系求角 子题类型Ⅲ:(2014年浙江高考理科试题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A- cos2B=sinAcosA-sinBcosB.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)若sinA=,求△ABC的面积. [解析]:(Ⅰ)由已知得:(1+cos2A)-(1+cos2B)=sin2A-sin2Bsin2A-cos2A=sin2B-cos2B sin(2A-)=sin(2B-)(a≠bA≠B)(2A-)+(2B-)=πA+B=C=; (Ⅱ)由a=c=cACcosA=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=S△ABC=acsinB=. [点评]:由三角函数关系求角的基本依据:①sinx=sinθx=2kπ+θ或x=2kπ+π-θ;②cosx=cosθx=2kπθ;求三角形的内角,要注意内角的取值范围. 4.子题系列: 1.(2012年江西高考试题)△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.(Ⅰ)求cosA; (Ⅱ)若a=3,△ABC的面积为2,求b,c. 2.(2013年江西高考试题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-sinA)cosB=0. (Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若a+c=1,求b的取值范围. 3.(2013年湖北高考试题)在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos2A-3cos(B+C)=1. (Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值. 4.(2011年江西高考试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin.(Ⅰ)求sinC的值; (Ⅱ)若a2+b2=4(a+b)-8,求边c的值. 5.(2014年浙江高考文科试题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知4sin2+4sinAsinB=2+. (Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值. 6.(2005年湖南高考试题)己知在△ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角A,B,C的大小. 7.(2008年江西高考试题)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边长,a=2,tan=4,sinBsinC=cos2.求A、B及b、c. 8.(2009年江西高考试题)在△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,tanC=,sin(B-A)=cosC. (Ⅰ)求A,C; (Ⅱ)若S△ABC=3+,