高考数学母题：周期问题.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(5-43):周期问题(104) 307 周期问题 [母题]Ⅰ(5-43):(2010年重庆高考试题)已知函数f(x)满足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2010)= . [解析]:由4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),令y=1得:f(x)=f(x+1)+f(x-1)f(x+2)=f(x+1)-f(x)=[f(x)-f(x-1)]-f(x)=- f(x-1)f(x+3)=-f(x)f(x+6)=-f(x+3)=f(x)f(2010)=f(0);在4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)中,令x=1,y=0得:f(0)= f(2010)=. [点评]:高考中,周期函数的基本问题类型有:求函数值、大小比较、零点问题和求解析式.抓住周期函数的代数和几何性质是解决周期函数问题的通法. [子题](1):(2007年福建高一数学竞赛试题)已知f(x)为R上的偶函数,且对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2007)= . [解析]:在f(x+6)=f(x)+f(3)中,令x=-3:f(3)=f(-3)+f(3)f(3)=f(-3)=0f(x+6)=f(x)f(2007)=f(334×6+3)= f(3)=0. 注:这是一类特殊的求周期函数的函数值问题 一般地,若奇(偶)函数f(x)满足f(x+2a)=f(x)+f(a),则f(x)是以T=2a为周期的周期函数. [子题](2):(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设函数f(x)是周期为4的周期函数,且在(-2,2)内又是单调递减的奇函数,则f(5),f(-2.43),f(),f(-4)从小到大的顺序为 . [解析]:(法一)f(5)=f(1),f(-2.43)=f(4-2.43)=f(1.57), y f(-4)=f(0)f()f(-2.43)f(5)f(-4); -6 -2 O 2 6 x (法二)由题知函数的大致图象f()f(-2.43)f(5)f(-4); 注:函数值的大小比较有两种途径:一是利用函数的周期性将自变量转化到函数的单调区间内,然后利用其单调性比较大小;二是根据己知区间内函数的单调性画出函数在该区间内的示意图,然后利用函数的周期性作出函数的图象,以形助数解决问题. [子题](3):(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题)己知f(x)=,且方程f(x)=x恰有两解,则实数a的取值范围是 . [解析]:由题知,当x≤0时,f(x)=()x+a,且f(-1)=2+a,f(0)=1+a; y 当x0时,f(x)=f(x-1)函数f(x)是以T=1为周期的周期函数,且当 a+2 x∈(0,1]时,其图象是函数f(x)=()x+a在(-1,0]内的图象向右平移 O x 1个单位,如图:故a∈(-2,+∞). 308 [母题]Ⅰ(5-43):周期问题(104) 注:周期函数的零点有二类问题:一是求函数在给定区间内的零点个数;二是己知零点个数求参数的取值范围,解决这类问题较简单的方法是充分利用函数图象,以形助数解决问题. [子题系列]: 1.(2008年四川省初赛试题)函数f(x)对任意的x满足:f(x+3)=-,且f(1)=,则f(2008)= . 2.(2006年安徽高考试题)函数f(x)对任意实数x满足f(x+2)=.若f(1)=-5,则f(f(5))= ; 3.(1998年河南高中数学竞赛试题)函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,对任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(4)成立,则f(1998)=( ) (A)3996