高考数学母题：比赛模型的数学期望.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅱ(三-19):比赛模型的数学期望(789) 0231 比赛模型的数学期望 [母题]Ⅱ(三-19):(2014年安徽高考试题)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(Ⅰ)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(Ⅱ)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望). [解析]:设每局甲获胜的事件为A,则A与A独立,且P(A)=;设甲赢得比赛时的总局数为ξ,则ξ可能取值为2,3,4,5; (Ⅰ)由P(ξ=2)=P(AA)=P(A)P(A)=,P(ξ=3)=P(AA)=P()P(A)P(A)=,P(ξ=4)=P(AAA)=P(A)P()P(A)P(A)= 甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率P=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=; (Ⅱ)X的可能取值集合为{2,3,4,5},P(X=2)=P(AA+)=+=,P(X=3)=P(AA+A)=+=,P(X=4)= P(AAA+A)=+=P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=X的分布列为: EX=2×+3×+4×+5×=. [点评]:比赛模型中的概率试题极富时代气息,故成为近年高考的“新宠”,比赛模型中的数学期望包括:①比赛场次的数学期望;②取胜场次的数学期望;③得分的数学期望. [子题](1):(2005年全国Ⅱ高考试题)甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6,本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望(精确到0.0001). [解析]:由单局比赛甲队胜乙队的概率=0.6,ξ可能取值为3,4,5,ξ=3,即比赛3局结束有两种情况:甲队胜3局或乙队胜局P(ξ=3)=0.63+(1-0.6)3=0.28,ξ=4,即比赛4局结束有两种情况:前3局中甲队胜2局,第4局甲队胜;或前3局中乙队胜2局,第4局乙队胜P(ξ=4)=C32×0.62(1-0.6)×0.6+C32×0.42(1-0.4)×0.4=0.3744,ξ=5,即比赛5局结束有两种情况:前4局中甲队胜2局、乙队胜2局,第5局甲胜或乙胜P(ξ=4)= C42×0.62(1-0.6)2×0.6+C42×0.42(1-0.4)2×0.4=0.3456ξ的概率分布为: Eξ=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=4.0656. 注:解决比赛模型中的概率试题的关键是仔细研究比赛规则,特别要关注最后一局的胜负情况,这是比赛模型中的概率试题的特点;求比赛场次的数学期望是比赛模型的热点问题. [子题](2):(2011年山东高考试题)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A,乙对B,丙对C各一盘,已知甲胜A,乙胜,丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立. (Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率;(Ⅱ)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望Eξ. [解析]:不妨设甲胜A,乙胜,丙胜C的事件分别为A,B,C,则A,B,C相互独立,且P(A)=0.6,P(B)=P(C)=0.5,ξ可能取值为0,1,2,3;P(ξ=0)=P()=P()P()P()=0.1,P(ξ=1)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)= 0.35,P(ξ=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.15P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1) -P(ξ=3)=0.4ξ的分布列为: 0232 [母题]Ⅱ(三-19):比赛模型的数学期望(789) (Ⅰ)红队至少两名队员获胜的概率=P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.55;(Ⅱ)Eξ=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6. 注:解决比赛模型中的概率试题的一般程序是:①设每局比赛某方取胜的事件为基本事件,确定基本事件之间的关系,并求基本事件的概率;②用基本事件表示随机变量每个取值对应的事件,并求其概率;③列分布列,解决问题. [子题](