高考数学母题：回归最值定义妙解“己知最值求参”试题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 回归最值定义.妙解“己知最值求参”试题 己知最值求参”试题的巧思妙解 己知含参数函数的最大(小)值,求参数的值(或范围)是高考的一种命题方式,常规方法是通过分类讨论函数的最值求解,若回归最值定义,则可避免分类讨论,获得妙解 [母题结构]:(最值定义)①函数f(x)在区间D内的最大值=M当x∈D时,不等式f(x)≤M恒成立,且存在x0∈D,使得f(x0)=M;②函数f(x)在区间D内的最小值=m当x∈D时,不等式f(x)≥m恒成立,且存在x0∈D,使得f(x0)=m. [解题程序]:①己知含参数a的函数f(x)在区间D内的最大值M,求参数a的值:首先由不等式f(x)≤M(x∈D)恒成立,求得a≤(或≥)a0,并考虑等号成立,即可得参数a的值(或范围);同理可解②. 1.分离参数法 子题类型Ⅰ:(2008年浙江高考试题)已知t为常数,函数y=|x2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为2,则t= . [解析]:当x∈[0,3]时,m=x2-2x∈[-1,3];由函数y=|x2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为2当x∈[0,3]时,|x2-2x-t|≤2恒成立,且存在x,使等号成立当m∈[-1,3]时,|m-t|≤2,即m-2≤t≤m+2恒成立,且存在m,使等号成立3-2≤t≤-1+2t=1. [点评]:函数f(x)=|g(x)-a|在区间D上的最大值为M当x∈D时,不等式f(x)≤M,即|g(x)-a|≤M,即g(x)-M≤a≤g(x)+M恒成立gmax(x)-M≤a≤gmin(x)+M;这种分离参数的方法具有广泛的应用. 2.巧用可疑点 子题类型Ⅱ:(2014年安徽高考试题)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为( ) (A)5或8 (B)-1或5 (C)-1或-4 (D)-4或8 [解析]:由f(-1)≥3|a-2|≥3a≥5或a≤-1;f(-)≥3|-+1|≥3a≥8或a≤-4.综上,a≥8或a≤-4(A)(B)(C)错误.故选(D). [点评]:函数f(x)=a|x-x1|+b|x-x2|必在x1或x2处取得最大(小)值,灵活运用函数取得最大(小)值的可疑点是解决函数f(x)=a|x-x1|+b|x-x2|最大(小)值问题的有效方法;此法具有推广移植之价值. 3.构造不等式 子题类型Ⅲ:(2011年第二十二届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)已知x是实数,且x≠2,3.若S=min{, },那么Smax= .此时x= . [解析]:由S=min{,}S≤,S≤≥|x-2|,≥|x-3|≥|x-2|+|x-3|≥1S≤2 Smax=2,此时x=. [点评]:求函数F(x)=max{f(x),g(x)}的最小值,或求函数G(x)=min{f(x),g(x)}的最大值,可由最大(小)值的定义列出不等式,由此再构造不等式,并由不等式性质求解. 4.子题系列: 1.(2010年全国高中数学联赛湖北预赛试题)已知函数f(x)=的最大值为,则实数b= . 2.(2002年福建省高一数学夏令营选拔试题)f(x)=的值域为[,],则a+b= . 3.(2005年上海交通大学保送生考试试题)若y=的最大值为9,最小值为1,求满足条件的实数a,b. 4.(2010年全国高中数学联赛试题)已知函数y=(acos2x-3)sinx的最小值为-3,则实数a的取值范围是 . 5.(2013年全国高中数学联赛福建预赛试题)对于函数y=f(x),x∈D,若对任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得=M,则称函数f(x)在D上的几何平均数为M.已知f(x)=x3-x2+1,x∈[1,2],则函数f(x)=x3-x2+1在[1,2]上的几何平均数M= . 6.(2015年重庆高考试题)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a= . 7.(2006年浙江高考试题)对a,b∈R,记max{a,b}=,函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是 . 8.(1996年全国高中数学联赛北京初赛试题)函数f(x)=|x2-a|在区间[-1,1]上的最大值M(a)的最小值等于 . 5.子题详解: 1.解:由f(x)≤≤9x2-24x+36-4b≥0恒成立(-24)2-36(36-4b)≤0b≤