高考数学母题：值域问题.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅱ(一-14):值域问题(714) 0033 值域问题 [母题]Ⅱ(一-14):(2008年安徽高考试题)己知函数f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)sin(x+). (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和图像的对称轴方程; (Ⅱ)求函数f(x)在区间[-,]上的值域. [解析]:因函数f(x)=cos(2x-)-2sin(-x)sin(x+)=cos(2x-)-2cos[-(-x)]sin(x+)=cos(2x-)- 2cos(x+)sin(x+)=cos(2x-)-sin(2x+)=(cos2x+sin2x)-cos2x=sin(2x-);(Ⅰ)最小正周期T=π,由2x-=kπ+对称轴方程为x=+(k∈Z);(Ⅱ)由x∈[-,]2x-∈[-,]值域为[-,1]. [点评]:求函数y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的值域问题是其最大、最小值问题的变式;有三类问题:①在实数集上,求值域;②在某区间内,求值域;③正、余弦函数的有界性:“sinx∈[-1,1],cosx∈[-1,1]”的应用. [子题](1):(2012年四川高考试题)已知函数f(x)=cos2-sincos-.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和值域; (Ⅱ)若f(α)=,求sin2α的值. [解析]:由f(x)=(1+cosx)-sinx-=cos(x+);(Ⅰ)f(x)的最小正周期T=2π,值域为[-,];(Ⅱ)由f(α)=cos(α+)=cos(α+)=sin2α=-cos(2α+)=1-2cos2(α+)=. 注:在实数集上,求三角函数的值域,一般可由正、余弦函数的有界性:“sinx∈[-1,1],cosx∈[-1,1]”来解决. [子题](2):(2008年北京高考试题)己知函数f(x)=sin2ωx+sinωxsin(ωx+)(ω0)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,]上的取值范围. [解析]:由f(x)=sin2ωx+sinωxcosωx=(1-cos2ωx)+sin2ωx=sin(2ωx-)+;(Ⅰ)由T=πω=1; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=sin(2x-)+;又由x∈[0,]2x-∈[-,]sin(2ωx-)∈[-,1]f(x)的取 值范围是[0,]. 注:在区间D0内,求角函数的值域,首先由x∈D0ωx+φ∈D,然后转化为sinx或cosx在D内的值域问题. [子题](3):(2012年全国高中数学联赛试题(A卷))已知函数f(x)=asinx-cos2x+a-+,a∈R,a≠0. (Ⅰ)若对任意x∈R,都有f(x)≤0,求a的取值范围; (Ⅱ)若a≥2,且存在x∈R,使得f(x)≤0,求a的取值范围. [解析]:因f(x)=asinx-cos2x+a-+=sin2x+asinx+a-.令t=sinx∈[-1,1],g(t)=t2+at+a-. (Ⅰ)对任意x∈R,都有f(x)≤0对任意t∈[-1,1],g(t)≤0(g(t)是凹函数)g(-1)≤0,且g(1)≤0a∈(0,1]; 0034 [母题]Ⅱ(一-14):值域问题(714) (Ⅱ)因为a≥2,所以g(t)的对称轴t=-≤-1g(t)在[-1,1]内单调递增gmin(t)=g(-1)=1-,因此,存在x∈R,使得 f(x)≤0存在t∈[-1,1],使得g(t)≤0gmin(t)≤01-≤00a≤3.故a的取值范围是[2,3]. 注:正、余弦函数的有界性:“sinx∈[-1,1],cosx∈[-1,1]”有许多方面的应用,我们将在下面的母题中研究. [子题系列]: 1.(2006年上海春招试题)已知函数f(x)=2sin(x+)-2cosx,x∈[,π]. (Ⅰ)若sinx=,求函数f(x)的值; (Ⅱ)求函数f(x)的值域. 2.(2010年江西高考试题)已知函数f(x)=(1+cotx)sin2x-2sin(x+)sin(x-).(Ⅰ)若tanα=2,求f(α); (Ⅱ)若x∈[,],求f(x)的取值范围. 3.(2008年上海高考试题)已知函数f