高考数学母题：再论正长方体的模型功能在安徽高考中的应用.docVIP

再论正(长)方体的模型功能 在安徽高考中的应用 正(长)方体是简单、常见的也是重要的几何体,具有丰富的内含,在高考中,有两方面的功能: ㈠造题功能 依托正方体为载体,可以设计很多灵活多变,富有思维量的高考试题,正方体是生成高考试题的重要“母体”,安徽高考数学试题进行了多次试验: (2012年安徽高考试题)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中, 底面A1B1C1D1是正方形,O是BD的中点,E是棱AA1上任意一点. (Ⅰ)证明:BD⊥EC1; (Ⅱ)如果AB=2,AE=,OE⊥EC1,求AA1的长. [解析]:(Ⅰ)由AA1⊥底面A1B1C1D1AA1⊥B1D1B1D1⊥AA1;又由底面A1B1C1D1是正方形B1D1⊥A1C1B1D1⊥平面AA1C1B1D1⊥EC1;由BD∥B1D1BD⊥EC1; (Ⅱ)设A1E=a,则EC12=A1E2+A1C12=a2+8,OE2=AE2+AO2=4,OC12=OC2+CC12=2+(a+)2;由OE⊥EC1EC12+OE2=OC12(a2+8)+4=2 +(a+)2a=2AA1的长=3. (2010年安徽高考试题)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=900,BF= FC,H为BC的中点. (Ⅰ)求证:FH∥平面EDB; (Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB; (Ⅲ)求二面角B-DE-C的大小. [解析]:(Ⅰ)设AC与BD交于点OOH∥AB,且AB=2OH,由EF∥AB,AB=2EF OH平行且等于EFFH∥EOFH∥平面EDB; (Ⅱ)EF∥AB,EF⊥FBAB⊥FB,AB⊥BCAB⊥平面BCFAB⊥FHFH⊥AB,又因FH⊥BCFH⊥平面ABCDEO⊥平面ABCDEO⊥ACAC⊥EO,又因AC⊥BDAC⊥平面EDB; (Ⅲ)分别BC、HF以为x、z轴建立空间直角坐标系,设FH=1=(-1,-1,1),=(-2,-2,0)平面BDE的法向量m =(1,-1,0),同理可得平面CDE的法向量n=(1,0,-1)cosm,n=m,n=二面角B-DE-C的大小为. 把多面体ABCDEF放置于正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图),可知该题来自于正方体,2015年安徽高考再次利用正方体构造试题: (2015年安徽高考数学试题理科第19题)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1D1E的平面交CD1已于F. (Ⅰ)证明:EF∥B1C; (Ⅱ)求二面角E-A1D-B1的余弦值. [解析]:把多面体A1B1D1DCBA补形成正方体ABCD-A1B1C1D1,如图: (Ⅰ)由B1C∥A1DB1C∥平面A1D1EF,又平面A1D1EF∩平面B1CD1 B1C∥EFEF∥B1C; (Ⅱ)不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,A1D,B1C的中点分别为M,N,则∠C1MN是二面角E-A1D-B1的平面角,由MN=1, C1N=tan∠C1MN=cos∠C1MN=. 以正方体为载体,作者命制了如下试题: (2015年Y.P.M高考预测试卷第三卷第18题)(可有哪些信誉好的足球投注网站百度文度,考前上传)在如图所示的空间图形中,△ABC、△EFD均是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=900,CD⊥平面ABC, CD⊥平面DEF,AB⊥EF,AB=CD=EF. (Ⅰ)求证:B、C、D、F四点共面; (Ⅱ)求证:平面ADF∥平面BCE; (Ⅲ)求直线CF与平面ADF所成角的正弦值. [解析]:(Ⅰ)把该几何体放置到正方体中,如图所示: 由CD⊥平面ABC,CD⊥平面DEF平面DEF∥平面ABC; 设平面BEF与平面ABC的交线为BM,则EF∥BM,由AB⊥ EFAB⊥BM;取点M,使得BM=FE,则CM=AC,∠BMC=∠FED =450ED∥MC,且△BMC≌△FEDBC∥EDB、C、D、F 四点共面; (Ⅱ)由DF∥BCBC∥平面BCE,AD∥CEAD∥平面BCE 平面ADF∥平面BCE; (Ⅲ)分别以BA、BM、BF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图: 不妨设AB=2,则A(2,0,0),C(1,1,0),D(1,1,2),E(0,2,2),F(0,0,2)=(-1,1,2),=(-2,0,2);设平面ADF的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0-x+y+2z=0,-x+z=0,令x=1z=1,y=-1m=(1,-1,1);=(-1,-1,2);设直线CF与平面ADF所成角为θ,则sinθ=||=. ㈡解题功能 正(长)方体重要的模型功能在于解题功能:把问题中的几何体放置于正(长)