高考数学母题：再构造再求导小技巧大智慧.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 再构造再求导.小技巧大智慧 二次求导解决导函数零点不可求问题 研究导函数(x)的零点不可求的函数f(x)的性质,逐渐成为高考的亮点和热点;处理此类试题视角独特、方法多样、技巧灵活,除分离函数、设而不求法外,还可采取二次求导外,分析解决. [母题结构]:己知函数f(x)满足其导函数(x)的零点不可求,研究函数f(x)的性质. [解题程序]:①求导函数(x),并分离构造函数g(x),使(x)=M(x)g(x),其中M(x)或恒正,或恒负;②求函数g(x)的导函数(x),研究函数(x)的零点和g(x)的性质;③由函数g(x)的性质,分析确定函数f(x)的性质. 1.函数的性质 子题类型Ⅰ:(2008年湖南高考试题)已知函数f(x)=ln2(1+x)-. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若不等式(1+)n+a≤e对任意的n∈N*都成立(其中e是自然对数的底数).求a的最大值. [解析]:(Ⅰ)由函数f(x)的定义域是(-1,+∞),(x)=-=[2(1+x)ln(1+x)-x(x+2)];设g(x)= 2ln(1+x)-x(x+2),则(x)=2ln(1+x)-2x(x)=-2=-(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数(x)(0)=0g(x)在(-1,+∞)上为减函数;又g(0)=0f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减; (Ⅱ)由(1+)n+a≤e(n+a)ln(1+)≤1a≤-n;设h(x)=-,x∈(0,1],则(x)=-+ =[ln2(1+x)-];由(Ⅰ)知,f(x)≤f(0)=0ln2(1+x)-≤0(x)≤0h(x)在(0,1]上单调递减hmin(x)=h(1)=-1a的最大值为-1. [点评]:利用导数研究函数f(x)的性质,尤其是求函数f(x)的单调区间,求出函数的导数(x)后,当无法直接求出导数(x)的所有零点时,可通过分离构造函数g(x),使(x)=M(x)g(x),其中M(x)或恒正,或恒负,然后,对函数g(x)再次求导,确定(x)的所有零点;“二次求导”法,思路自然流畅、过程清晰.“再构造再求导”是破解函数问题的有效工具. 2.证明不等式 子题类型Ⅱ:(2010年全国Ⅰ高考试题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1. (Ⅰ)若x(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围; (Ⅱ)证明:(x-1)f(x)≥0. [解析]:(Ⅰ)由f(x)的定义域为(0,+∞),(x)=lnx+,所以,x(x)≤x2+ax+1a≥lnx-x;令g(x)=lnx-x,则(x)= -(x-1)g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减gmax(x)=g(1)=-1a的取值范围为[-1,+∞). (Ⅱ)由(x-1)f(x)≥0当0x≤1时,f(x)≤0;当x1时,f(x)≥0;由(x)=lnx+(x)=-=(x-1) (x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增(x)≥(1)=10f在(0,+∞)上单调递增当0x≤1时,f(x)≤f(1)=0;当x1时,f(x)f(1)=0.综上,(x-1)f(x)≥0. [点评]:利用导数这一工具证明不等式,是导数应用的一个重要方面,其中,对待证不等式进行等价转化是关键,构造函数是途径,“二次求导”是方法和策略;在实际应用中,一些不等式的证明要通过二次甚至三次构造函数和求导才能解决.因此要强化多次构造函数和多次求导的解题意识和思想. 3.不等式成立 子题类型Ⅲ:(2010年课标高考试题)设函数f(x)=ex-1-x-ax2. (Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间; (Ⅱ)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围. [解析]:(Ⅰ)当a=0时,由f(x)=ex-1-x(x)=ex-1,由此列表如下: 由表知,f(x)在(-∞,0)上单调递减.在(0,+∞)上单调递增; (Ⅱ)由f(x)=ex-1-x-ax2(x)=ex-1-2ax(x)=ex-2a;①当a≤时, (x)≥0(x)在[0,+∞)上单调递增(x)≥(0)=0f(x)在[0,+∞)上单调递增f(x)≥f(0)=0;②当a时,(x)在[0,ln2a)上单调递减当x∈[0,ln2a)时,(x)≤(0)=0f(x)在[0,ln2a)上单调递减当x∈[0,ln2a)时,f(x)≤f(0)=0,不合题意.综上,a的取值范围是(-∞,]. [点评]:二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器！“再构造再求导”,虽然是解题中的“小技巧”,却体现了解题的“大智慧”;利用二次求导,不仅可研究函数f(x)的性质,证明函数不等式,而且还可解决