高考数学母题：值得关注的函数凸凹性.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 利用放缩法研究函数不等式 解决函数不等式问题的一个技法 函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质,虽然在中学数学中,没有给出明确的定义和相关知识,但是它的身影却频频出现在高考试题中,它是深化函数研究,精细刻画函数性质的有效途经,值得引起充分关注. 凸凹性的定义:(Ⅰ)若f(x)在区间D上连续,且对任意 的x1,x2∈D,x1≠x2,恒有f(),则称 f(x)在D上是凸的; (Ⅱ)若f(x)在区间D上连续,且对任意的x1,x2∈D,x1≠x2, 恒有f(),则称f(x)在D上是凹的. [母题结构](Ⅰ)凸凹函数的判定定理:①若f(x)在区间D上连续可导,且(x)在区间D上单调递减,则f(x)在D上是凸的;②若f(x)在区间D上连续可导,且(x)在区间D上单调递增,则f(x)在D上是凹的; (Ⅱ)凸凹函数的不等式性质:①若函数f(x)在D上是凸的,则对任意的x1,x2,…,xn∈D,都有f(p1x1+p2x2+…+pnxn)≥p1f(x1)+ p2f(x2)+…+pnf(xn)(其中pi0,p1+p2+…+pn=1),当且仅当x1=x2=…=xn时,等号成立;②若函数f(x)在D上是凹的,则对任意的x1,x2,…,xn∈D,都有f(p1x1+p2x2+…+pnxn)≤p1f(x1)+p2f(x2)+…+pnf(xn)(其中pi0,p1+p2+…+pn=1),当且仅当x1=x2=…=xn时,等号成立. [母题解析]:(Ⅰ)①令g(x)=f()-,x∈D,且xx2,则(x)=[()-(x)];由xx2 x,又由(x)在区间D上单调递减()(x)(x)0g(x)g(x2)0f()f(x)在D上是凸的;同理可证②; (Ⅱ)①由函数f(x)在D上是凸的(x)在区间D上单调递减;要证:对任意的x1,x2,…,xn∈D,都有f(p1x1+p2x2+…+pnxn) ≤p1f(x1)+p2f(x2)+…+pnf(xn)(其中pi0,p1+p2+…+pn=1),不妨设x1≤x2≤…≤xn,则p1x1+p2x2+…+pnxn≥x1p2x2+…+pnxn≥ (1-p1)x1p2x2+…+pnxn≥(p2+…+pn)x1p2(x2-x1)+p3(x3-x1)+…+pn(xn-x1)≥0;令h(x)=p1f(x)+p2f(x2)+…+pnf(xn)-f(p1x+ p2x2+…+pnxn)(x≤x2≤…≤xn),则(x)=p1(x)-p1(p1x+p2x2+…+pnxn)≥0h(x)≤h(x2)=(p1+p2)f(x2)+…+pnf(xn)- f((p1+p2)x2+…+pnxn)≤(p1+p2+p3)f(x3)+…+pnf(xn)-f((p1+p2+p3)x3+…+pnxn)≤…≤(p1+p2+…+pn)f(xn)-f((p1+p2+…+pn)xn)= f(xn)-f(xn)=0h(x1)≤0f(p1x1+p2x2+…+pnxn)≥p1f(x1)+p2f(x2)+…+pnf(xn),当且仅当x1=x2=…=xn时,等号成立;同理可证②. 1.直观判定凸凹性 子题类型Ⅰ:(2005年湖北高考试题)在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x这四个函数中,当0x1x21时,使f() 恒成立的函数的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 [解析]:由f()f(x)是(0,1)上的凸函数;而y=2x,y=x2在(0,1)内为凹函数,y=cos2x在(0,1)内先凸后凹函数,只有y=log2x在(0,1)为凸函数.故选(B). [点评]:函数的凸凹具有较强的几何直观,简单初等函数的凸凹性,可由其图像一目了然的判定. 2.导数判定凸凹性 子题类型Ⅱ:(2008年全国I高考试题)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是( ) [解析]:令s=f(t),由加速行驶(t)递增f(t)是凹函数;匀速行驶f(t)为递增的直线;减速行驶(t)递减f(t)为凸函数.故选(A). [点评]:由凸凹的导数判定定理知,若路程s看作时间t的函数f(t),则:加速行驶f(t)是递增的凹函数,减速行驶f(t)是递增的凸函数. 3.凸凹性与不等式 子题类型Ⅲ:(2012年福建高考试题)函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有f()≤, 则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:①f(x)在[1,