高考数学母题：明修栈道暗渡陈仓.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 明修栈道.暗渡陈仓 导函数零点的“设而不求”处理策略 利用导数解决函数问题的关键是研究导函数的零点,其中,一类是需判断其存在且无法精确求出,不妨称为“隐零点”; 对此类问题处理的策略之一是明修栈道,暗渡陈仓,即“设而不求”. [母题结构]:己知函数f(x)导函数(x)=M(x)g(x),其中M(x)或恒正,或恒负,函数g(x)在函数f(x)的定义域內存在唯一的不可求零点,求函数f(x)最大(小)值的取值范围. [解题程序]:①求函数g(x)在函数f(x)的定义域內的唯一零点的α的取值范围;②由g(α)=0,消去参数,或消去零点α,将f(α)表示为不含参数的α的函数,或表示为不零点α的参数函数;③由α的取值范围,或参数的取值范围,求f(α)的取值范围. 1.消去参数 子题类型Ⅰ:(2013年课标Ⅱ高考试题)已知函数f(x)=ex-ln(x+m). (Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明:f(x)0. [解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(-m,+∞);由f(x)=ex-ln(x+m)(x)=ex-;由x=0是f(x)的极值点(0)=0 m=1(x)=ex-(x)=ex+0(x)在(-1,+∞)内单调递增当x∈(-1,0)时,(x)(0)=0 f(x)在(-1,0)内单调递减;当x∈(0,+∞)时,(x)(0)=0f(x)在(0,+∞)内单调递增; (Ⅱ)当m≤2时,由(x)=ex-(x)=ex+0(x)在(-m,+∞)内单调递增;又(2-m)=e2-m-≥1- 0,(t-m)=et-m-(0tetem)0(x)存在唯一零点α∈(t-m,2-m),且eα-=0α+m=e-αfmin(x)=f(α)=eα-ln(α+m)=eα-lne-α=eα+α=eα+e-α-m2-m≥0f(x)0. [点评]:对有唯一极小(大)值f(α)的函数f(x)(f(α)也是函数f(x)的最小(大)值),求函数f(x)最大(小)值的取值范围:根据(α)=0,消去参数,将f(α)表示为不含参数的α的函数,是解题策略之一. 2.消去零点 子题类型Ⅱ:(2015年课标Ⅰ高考试题)设函数f(x)=e2x-alnx. (Ⅰ)讨论f(x)的导函数(x)的零点的个数; (Ⅱ)证明:当a0时,f(x)≥2a+aln. [解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞);由f(x)=e2x-alnx(x)=2e2x-(x0);①当a≤0时,(x)0(x)的零点的个数=0;②当a0时,(x)在(0,+∞)内单调递增,且(a)0,()0(x)的零点的个数=1; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,(x)在(0,+∞)内单调递增,且有唯一零点x0x0是f(x)的极小值点,也是f(x)的最小值点;由(x0)=0 2e2-=0e2=lnx0=ln-2x0f(x0)=e2-alnx0=-a(ln-2x0)=+2ax0-aln≥2a-aln=2a+ aln. [点评]:对有唯一极小(大)值f(α)的函数f(x)(f(α)也是函数f(x)的最小(大)值),求函数f(x)最大(小)值的取值范 围:根据(α)=0,消去零点α,将f(α)表示为不零点α的参数函数,是解题的另一策略. 3.设而不求 子题类型Ⅲ:(2015年四川高考理科试题)已知函数f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a,其中a0. (Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数,讨论函数g(x)的单调性; (Ⅱ)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解. [解析]:(Ⅰ)由g(x)=(x)=-2lnx-2-+2x-2a(x0,a0)(x)=(x2-x+a);①当a≥时,(x)≥0g(x)在(0, +∞)内递增;②当0a时,由(x)=0x1=,x2=g(x)在(0,x1)和(x2,+∞)内递增,在(x1,x2)内递减; (Ⅱ)当a∈(0,1)时,x2=1,由(Ⅰ)知(x)=g(x)在(1,+∞)内递增,且(1)=-4a0,(a+4)=2[3-ln(a+4)- ]2(3-2-)0(x)在(1,+∞)内存在唯一零点α,且x=α是f(x)的极小值点,也是f(x)的最小值点,所以,f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解f(α)=0;由(α)=0lnα=α--a-1f(α)= =-2(α+a)lnα+α2-2aα-2a2+a=-2(α+a)(α--a-1)+α2-2aα-2a2+a=-α2+2α++4a-2aα;由f(α)=0-α2+2α++5a-2aα=