2017秋（北师大版）九年级数学上册第4章 阶段方法技巧训练（一）专训3　利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系.docVIP

专训3　利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法． 证明两线段的数量关系 证明两线段的相等关系 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N. 求证：BM＝MC. (第1题) 证明两线段的倍分关系 2．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E. 求证：AC＝2CE. (第2题) 证明两线段的位置关系 证明两线段平行 3．在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，连接DE，EF，FD，且EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M，连接MN. (1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？并说明理由． (2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并说明理由． (第3题) 证明两线段垂直 4．如图，已知矩形ABCD，AD＝AB，点E，F把AB三等分，DF交AC于点G，求证：EG⊥DF. (第4题) 答案 1．证明：∵DE∥BC， ∴∠NEO＝∠MBO，∠ENO＝∠BMO. ∴△NEO∽△MBO.∴＝. 同理可得＝.∴＝. ∴＝. ∵DE∥BC， ∴∠ANE＝∠AMC，∠AEN＝∠ACM. ∴△ANE∽△AMC.∴＝. 同理可得＝.∴＝. ∴＝. ∴＝.∴MC2＝BM2. ∴BMMC. 2．证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F.∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F. 易知△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，　 ∴＝，＝.∴＝. 又∵BA＝2BD，∴CF＝2CE. 又AM平分∠BAC， ∴∠BAM＝∠CAM. ∴∠CAM＝∠F. ∴AC＝CF. ∴AC＝2CE. (第2题) 3．解：(1)MN∥AC∥ED.理由如下：由EF∥BC，易知△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC.∴＝＝.∵E为AB的中点，EF∥BC， ∴F为AC的中点． 又∵DF∥AB，∴D为BC的中点． ∴BD＝CD.∴EM＝MF. ∵F为AC的中点，FN∥AE， ∴N为EC的中点．从而MN∥AC. 又∵D为BC的中点，E为AB的中点， ∴ED∥AC.∴MN∥AC∥ED. (2)MN∥AC.理由如下：由EF∥BC，易得△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC. ∴＝＝.∴＝.又∵DF∥AB，∴＝.∴＝.∴＝.又∵∠MEN＝∠FEC， ∴△MEN∽△FEC. ∴∠EMN＝∠EFC. ∴MN∥AC. 4．证明：∵AD＝AB，点E，F把AB三等分， ∴设AE＝EF＝FB＝AD＝k(k0)，则AB＝CD＝3k. CD∥AB， ∴∠DCG＝∠FAG，∠CDG＝∠AFG. ∴△AFG∽△CDG.∴＝＝. 设FG＝2m，则DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m. 在Rt△AFD中，DF2＝AD2＋AF2＝5k2，∴DF＝k. ∴5m＝k.∴m＝k. ∴FG＝k. ＝＝，＝＝. ∴＝. 又∠AFD＝∠GFE， ∴△AFD∽△GFE. ∴∠EGF＝∠DAF＝90°.∴EG⊥DF.