计算机数学基础一二章1.pptVIP

第1章 微分学 周忠荣 编 计算机数学基础 主讲教师：罗佩芳 教材与教学参考书 教材： 周忠荣，计算机数学（第二版），清华大学出版社, 2010. 成绩构成比例及辅导答疑 成绩构成比例 考 勤 分—10% 每次上课考勤，累计缺课达15学时者取消考试资格 平时作业 — 10% 作业少三分之一者取消考试资格 章节小测试及期中考—20% 期末考试 — 60% 期末考试（随堂考试） 辅导及答疑：周五34或课间 答疑的地点：上课教室或行政楼311室 联系电话学习要求 要充分发挥主观能动性，课前尽可能预习以争取课堂上最好的听课效果，课后尽可能多做习题，从中理解和掌握有关的概念； 要积极配合并参与老师课堂上或课后的教学活动，力争培养自己的良好的学习习惯及思维方式,培养和提高自己的自主学习的能力。 第1章 微分学 本章主要内容 函数 极限 导数 求导方法 高阶导数 微分及其应用 1.1 函 数 本节内容 1.1.1 函数的概念 1.1.2 复合函数与初等函数 区间与邻域 数学中，某些指定的数集在一起就成为一个数集。显然，数集是关于数的集合。常用的数集及其代号是：自然数集N （包括0和所有正整数） 、整数集Z、有理数集Q和实数集R。其中，涉及最多的是实数集R。 区间是R的一个连续子集。例如： [a,b]＝{x|a≤x≤b} 、(a,b)＝{x|a＜x＜b} 、(－∞,＋∞)＝R。 设x0与δ是两个实数，且δ＞0，数集 {x|| x－x0|＜δ}称为点x0的δ邻域，记作U(x0, δ) ；点x0和数δ分别称为这个邻域的中心和半径。数集{x|0＜| x－x0|＜δ}称为点x0的空心δ邻域，记作 。邻域和空心邻域在数轴上的表示见下图。 函数 实例1-1 圆面积A与它的半径r之间的相依关系。 根据几何学知识，圆面积A与它的半径r之间的关系是： A＝πr2 当半径r在区间(0,＋∞)内任意取定一个数值时，由上式就可以确定圆的面积。 实例1-2 下图表示某地一昼夜时间内温度T与时间t之间的相依关系。 定义1-1 设x和y是两个变量，D是R的非空子集，如果对于每一个数x∈D，变量y按照某种对应法则有惟一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作 y＝f(x) 并称变量x为该函数的自变量，变量y为因变量， f 是函数中表示对应法则的记号，D是函数的定义域，也可以记作D(f )，数集 W＝{y|y＝f(x), x∈D} 为函数的值域，也可以记作Rf 或f(D)。 对于自变量x取定义域中某一定值x0，函数y＝f(x)的相应值叫做当x＝x0时的函数值。通常用记号f(x0)，或 ，或 ，或y(x0)等表示。 表示函数的方法有解析法（也称公式法）、图像法、表格法等等。 还需要指出，函数可以含有一个或多个自变量。含有一个自变量的函数称为一元函数。含有多个自变量的函数称为多元函数。 例1-1 某汽车公司规定从甲地运货至乙地的收费标准是：如果货物重量不超过30千克，则每千克收费1.5元；如果货物重量超过30千克，则超出部分每千克收费增至2.5元；试写出货物运费与货物重量之间的函数关系。 解 分段函数 例1-2 已知因变量取自变量的绝对值，建立该函数表达式并画出它的图像。 解 按题意，该函数表达式如下 它的图像如右图所示。 例1-3 求下列函数的定义域 (1) (2) y＝lg(x2－4) 定义1-2 设函数y＝f(x)在区间I内有定义。如果存在正数M，使得对任意的 ，均有 |f(x)|≤M 则称函数y＝f(x)在区间I内是有界的。M为y＝f(x)在区间I内的一个界。如果不存在这样的常数，则称函数y＝f(x)在区间I内是无界的。 有界函数的图像在区间I内被限制在y＝－M和y＝M两条直线之间。 显然，函数是否有界、界的大小取决于函数和区间两个因素。对于有界函数，界不是惟一的。例如，函数y＝sinx在R上有界，它的最小的界是1；但是在区间 上，函数的最小的界是 。再看函数y＝tanx，它在R上无界；但是在区间 上有界，最小的界是1。 定义1-3 设函数y＝f(x)的定义域D关于原点对称（即若 ，则必定 ）。如果对任意的 ，均有 f(－x)＝f(x) 则称函数y＝f(x)是偶函数；如果对任意的 ，均有 f(－x)＝－f(x) 则称函数y＝f(