计算机数学基础一二章3.pptVIP

第1章 微分学 周忠荣 编 练习 练习 求下列函数的导数 凡是因变量y用自变量x的表达式表示的函数y＝f(x)称为显函数。前面介绍的求导法适用于显函数。但有时两个变量之间的函数关系由一个方程F(x,y)＝0确定，这种由方程所确定的函数称为隐函数。有些隐函数可以变换为显函数，但也有不能变换为显函数的。对隐函数求导就是把其中的一个变量看成另一个变量的函数（虽然并没有用显式表示）。 例1-31 求由方程xy＋y－x－8＝0所确定的函数的导数。 解 方法1 变换为显函数 ，因此 （a） 方法2 原方程两边分别对求导（注意：y是x的函数），得 因此 （b） 例1-32 用隐函数求导法求函数y＝arcsinx的导数。 解 将y＝arcsinx改写成x＝siny ，两边对x求导，得 因为函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]，值域是 ，因此cosy≥0，所以 即 仿此题可以证明 例1-33 求椭圆 在点 处的切线方程。 解 把椭圆方程两边分别对求导，有 从而有 续解 将 代入上式得 将有关数据代入切线方程（1-20）得 整理后得 补充：导数的应用 一、函数单调性的应用 由导数的几何意义知 （其中a为曲线f(x)在点x0处的切线与x轴正向的夹角）。 由图可知，若f’(x0)0，则曲线切线的倾角a都是锐角，函数f(x)单调递增； 若f’(x0)0,则曲线切线的倾角a都是钝角，函数f(x)单调递减。 因此，可以利用导数的正负来判断函数的单调性。 实例 例1 讨论 的单调性 解：先求出f(x)函数的导数，通过考虑导数的正负来判定函数的单调性。 因为此函数的定义域是R，而当 ，函数f(x)单调递减；当x-1或,x2时， 函数f(x)单调递增。 练习 讨论下列函数的单调性: 证明： 导数的应用 二、求函数的极值 导数的应用 三、最大值与最小值 分析：函数f(x)的最值只可能在极值点，端点取得。而所有的驻点和不可导点一定包含了可能的极值点。 求函数最值的步骤为： （1）先求出的所有驻点和不可导点 （2）计算处各驻点，不可导点，以及端点上的函数值 （3）再将这些点上的函数值进行比较 作业 P39-1-15 补充：1、讨论下列函数的单调性 2、做一全容积固定V0为的圆柱形罐头，怎样设计才使所用的材料最省。 由 知 为唯一的最大值点 由此可见,犁沟为正方形时土地面积最大。 因 ，所以周长相同时圆形土地比正方形面积要大。 （2）若土地为圆形，则 例6 将边长为 的一块正方形铁皮四角截去一个 ，则 令 得驻点 （舍去）， ， 所以截去的正方形边长为 时，容积最大。 相同的正方形，折成一个方盒，问如何截法容积最大。 解：设正方形边长为 这里要特别指出：若函数 在某个区间I（可以是无限， 有限，开或闭区间）内可导，并且只有一个驻点 时,当 在该区间的最大值，当 为极大值时，那么 也必为 在该区间上的最小值。 为极小值时，那么 也必为 计算机数学 习题答案 1.4.4 隐函数求导法 1.4.4 隐函数求导法（续一） 1.4.4 隐函数求导法（续二） 1.4.4 隐函数求导法（续三） 1.4.4 隐函数求导法（续四） 函数单调递增。 的夹角 内，切线与 在 轴正方向 ，斜率为正， 即 函数单调递减。 的夹角 内，切线与 在 轴正方向 ，斜率为负， 即 例 1 判断函数 在 上的单调性。 所以由定理可知，函数 在 上单调增加。 ， ， 例2 内， 解 在 在 和 内函数单调减少。 判断函数单调性的一般步骤： （1）给出函数定义域； （2）求一阶导数，用一阶导数的根和一阶导数不存在的点来划分定义区间； （3）判定一阶导数在每个子区间上的符号。 f(x) + - + f‘ (x) （2，+ ∞ ） （-1，2） (-∞，-1) x 例2 解： 列表 函数的定义域为 例3 讨论函数 的单调性。 解： 函数的定义域为： 当 时，函数的导数为 当 时，函数的导数不存在。 在 内， 因此函数 内 在 因此函数 内 在 内， 在 单调减少； 单调