计算机数学基础一二章2.pptVIP

第1章 微分学 周忠荣 编 第1章 微分学 复习回顾 区间与邻域 函数的定义 函数的有界性 函数的奇偶性 函数的周期性 函数的单调性 反函数的求法 复合函数 由定义1-3不难推出如下结论： 若干个奇函数的和（或差）是奇函数； 若干个偶函数的和（或差）是偶函数； 两个奇函数（或偶函数）的积（或商）是偶函数； 一个奇函数与一个偶函数的积（或商）是奇函数。 一个奇函数与一个偶函数的和（或差）既不是偶函数，也不是奇函数。 练习 1、求下列函数的定义域 （1） （2） （3） 练习 2、判断函数 的奇偶性 解： 故f(x)是偶函数 3、设 求： （1）f[g(x)], g[f(x)]; （2） f[g(100)], g[f(3)]. 练习 4、下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的？ 1.2 极 限 本节内容 1.2.1 数列的极限 1.2.2 函数的极限 1.2.3 函数的连续性 1.2 极 限 （续） 研究函数变化的基本工具是极限的方法。极限的概念是微积分学中最基本的概念，后面将要介绍的函数的连续性、导数、定积分等概念都要以极限为基础。 两千多年前，我国古人就有了初步的极限概念。公元263年，我国数学家刘徽根据朴素的极限思想先后计算了圆内接正6边形、正12边形、正24边形、正48边形、……的面积，他算出的圆周率是3.141 592 6，这已经是很好的近似值了，非常了不起。 数列是按照某种法则产生的一系列数的依次排列。无穷数列x1, x2,…, xn,…（常简记为{xn}）可以看作自变量为正整数n的函数，即xn＝f(n) 。因此，数列的极限是一类特殊函数的极限。 定义1-9 对数列{xn} ，如果当n无限增大时， xn无限接近一个常数a ，那么a就称为数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛于a ，记为 或 xn→a(n→＋∞) 如果数列没有极限，就说数列是发散的。显然，如果一个数列有极限，则此极限是惟一的。 定理：函数的极限若存在，则必唯一。 定义1-9中“如果当n无限增大时，数列{xn}无限接近一个常数a”的实质是：随着n的无限增大，xn与常数a的距离 | xn －a|可以任意小，即要多小都可以有多小（不排除数列的某些项取常数a的可能）。 例1-6 根据极限的定义，判断下列各数列是否有极限，对于收敛的数列指出其极限： （1）1,2,3,…,n,… （2） （3）1,－1,1,…,(－1)n＋1,… （4） （5） 解 （1）1,2,3,…,n,… （2） （3）1,－1,1,…,(－1)n＋1,… （4） （5） 1.2.1 数列的极限（续二） 例 求下列数列的极限 1 x→∞ (自变量趋向无穷大)时的极限 对函数 ，当|x|无限增大时，对应的函数值y无限接近常数0（参看下图），这时就称 以0为极限。 定义1-10 设函数y＝f(x)对绝对值无论怎样大的自变量都有定义，如果当|x|无限增大（即x→∞ ）时，函数f(x)无限接近某个常数A ，那么A就称为函数f(x)当x趋向无穷大时的极限，记为 或 f(x) →A(x→∞) 如果 不存在，则函数f(x)当x→∞时没有极限。 定义1-10中“如果当|x|无限增大（即x→∞）时，函数f(x)无限接近某个常数A”的实质是：随着x的绝对值的无限增大，函数f(x)与常数A的距离|f(x)－A|可以任意小，即要多小都可以有多小（不排除f(x)取常数A的可能）。 如果在定义1-10中限制x只取正值或者只取负值，即有 或 称函数f(x)当x趋向正无穷大（或负无穷大）时的极限为A。 对于函数 ，其图像如下图所示。由于 ，并且 两个极限相等，从而 对于函数y＝arctanx ，由于 两个极限不相等，从而 不存在 对于函数y＝2x ，由于 其中一个极限不存在，从而 不存在 1.2.2 函数的极限（续六） 通过对以上3个函数的分析说明，只有当 和 都存在并且相等时， 才存在并与前两者相等。 定理1： 的充要条件是 2 x→x0 (自变量趋向有限值)时的极限