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第2章 积分学 周忠荣 编 2.2.3 换元法 （续七） 运用凑微分法的思考过程是：将被积函数看成两个函数f[φ(x)]和 的乘积，将 凑微分得到dφ(x)，然后将φ(x)作为中间变量完成积分 。 所以，成功运用凑微分法的关键是选择恰当的函数 ，既要方便地凑微分得到dφ(x)，又要使 比较容易积分。 2.2.3 换元法 （续八） 第一类换元法图解 2.2.3 换元法 （续九） 运用凑微分法，熟练以后可以省略写出引进变量u的步骤。 下面是最常用的凑微分等式。 （1） (a，b为常数， a ≠0) （2） （3） （4）cosxdx＝dsinx （5）sinxdx＝－dcosx 练习 求下列积分 2.2.3 换元法 （续十一） 第二类换元法 第一类换元法（凑微分法）是通过换元u＝φ(x)， 将 凑微分得到dφ(x) ，把 转化为 ，从而易于积分。凑微分法能解决一部分积分问题。但是，有一类不定积分，不能用凑微分法。如果适当地选择换元x＝ψ(t) ，将积分 转化为 ，就能顺利积分，这就是第二类换元法。 2.2.3 换元法 （续八） 第二类换元法图解 2.2.3 换元法 （续十三） 例2-16 求 。 解 为去掉根号，不妨设x＝t2(t＞0)，那么， ，dx＝2tdt，于是 ＝2[t－ln(1＋t)]＋C 换回原来的变量得 2.2.3 换元法 （续十四） 例2-17 求 。 解 本题要利用三角公式sin2x＋cos2x＝1来消去根号。设 ，那么，dx＝acostdt，则 利用例2-14的结果得 2.2.3 换元法 （续十五） 续解 上述结果需要将中间变量换回。由于 ，所以 于是所求积分为 2.2.3 换元法 （续十六） 利用三角公式消去根号的方法通常称为三角代换法。 例2-16和例2-17的解答表明，使用第二类变量代换法往往要指明中间变量的取值范围。只有这样才能保证将中间变量换回原变量时有确定的函数关系。例如，例2-16中的 例2-17中的 ，都是根据预先指明的中间变量的取值范围确定根号前的符号的。 2.2.4 分部积分法 分部积分法是另一个重要的积分方法，它是与导数（微分）运算中乘积的导数（微分）公式相对应的。 设u＝u(x)及v＝v(x)的一阶导数连续，则由d(uv)＝ud(v)＋vd(u)，即ud(v)＝ d(uv)－vd(u)两边求不定积分得 （2-8） 或 （2-9） 2.2.4 分部积分法 （续一） 上两式称为分部积分公式。如果 难求，而 比较容易求，就可以利用分部积分公式求解。 2.2.4 分部积分法 （续一） 例2-18 求 。 解 如果令u(x)＝x，dv(x) ＝cosxdx ， 那么du(x)＝dx， v(x)＝sinx 。根据式（2-8）有 2.2.4 分部积分法 （续五） 续解 如果令u＝cosx，dv(x) ＝xdx ， 那么du＝－sinxdx， 。根据式（2-8）有 上式右端新出现的积分 比原积分更加复杂，这条路越走越艰难。 2.2.4 分部积分法 （续六） 成功运用分部积分法的关键是从被积函数中恰当选取u(x)和 ，使 比 容易积分。 熟练后，u和v可以不写出来，把表示u和v的部分记在心里，直接运用式(2-8)即可。例如，对本例，选取u(x)＝x和 ，这就得到了v(x)＝sinx 。后面的问题就比较好解决了。 2.2.4 分部积分法 （续七） 通过本例的解答