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第1章 微分学 周忠荣 编 变速直线运动中，速度函数v(t)是路程函数s＝f(t)对时间t的导数，即 而加速度a又是速度v对时间t的导数： 或 这种导数的导数 或 称为二阶导数，记做 或 一般地，函数y＝f(x)的导数 仍然是x的函数， 的导数称为函数y＝f(x)的二阶导数，记做 或 ，即 或 相应地，函数y＝f(x)的导数 称为函数y＝f(x)的一阶导数。类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，三阶导数的导数称为四阶导数，…，阶导数的导数称为n阶导数，分别记做 或 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。 例1-36 求y＝4x3－3x2＋x－5的四阶导数。 补充例题 １、求下列函数的二阶导数。 2、 3、设 1. 6 微分及其应用 本节内容 1.6.1 微分的定义 1.6.2 微分的几何意义 1.6.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 1.6.4 微分在近似计算中的应用 补充内容 一块正方形均质金属薄片因为受热膨胀，其边长由变到，如右图所示。现在求此薄片面积的增加量。 A＝x02 ΔA＝(x0＋Δx)2－x02 ＝2x0Δx＋(Δx)2 ΔA由两部分构成，第一部分2x0Δx是Δx的线性函数，是右图中画斜线的两个小矩形面积之和。第二部分(Δx)2是右图中画交叉线的小正方形的面积。一般情况下， Δx很小， (Δx)2则更小。当Δx→0时， (Δx)2是Δx的高阶无穷小。所以，当Δx很小时， 2x0Δx是ΔA的很好的近似，即 定义1-18 设函数y＝f(x)在某区间内有定义， x0及x0＋Δx在该区间内，如果函数的增量Δy可表示为 ΔA＝AΔx ＋ο(Δx) （1-28） 其中A是不依赖于Δx的常数，而ο(Δx)是Δx的高阶无穷小，则称函数y＝f(x)在点x0是可微的，而AΔx称为函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作，即 dy＝AΔx （1-29） 当A≠0时， AΔx是Δy的主要部分（Δx →0）。由于AΔx是Δx的线性函数，因此，微分dy（ AΔx ）称为Δy的线性主部（ Δx →0 ）；而且，当Δx很小时，有 （1-30） 定理1-9 函数在点可微的充分必要条件是该函数在点可导。此时，即有 （1-31） 定理1-9说明：函数可微和可导是等价的。 例1-37 求函数y＝x3在x＝1处，Δx＝0.1和Δx＝0.01时的增量和微分。 解 由 得 。 （1）Δx＝0.1时，有 Δy＝(1＋0.1)3－13 ＝0.331 （2）Δx＝0.01时，有 Δy＝(1＋0.01)3－13 ＝0.030 301 函数y＝f(x)在任意点x的微分称为函数的微分，记作dy或df(x) ，即 显然，函数的微分与x和Δx的值有关。 通常把自变量x的增量称为自变量的微分，记作dx ，即dx＝Δx 。于是函数y＝f(x)的微分又可记作 （1-32） 从而有 此前， 是作为导数的整体符号介绍的。有了微分的概念后，可以把它看成两个微分（dy和dx）的商。因此，导数又称为微商。 如右图所示，曲线y＝f(x)在点(x0, f(x0))处的切线PT的方程为 若记Δx＝x－x0，则上式变成 微分dy就是当在取得增量时曲线在点(x0, f(x0))处的切线PT的纵坐标的相应增量。 而Δy是同样条件下曲线y＝f(x)的纵坐标的相应增量。 基本初等函数的微分公式 (1) dc＝0 (2) dxμ＝μxμ-1dx (3) dax＝axlnadx (4) dex＝exdx (5) (6) (7) dsinx＝cosxdx (8) dcosx＝－sinxdx (9) dtanx＝sec2xdx (10) dcotx＝－csc2xdx (11) (12) (13) (14) 微分运算法则 设函数u＝u(x) 、 v＝v(x)可微，则 (1) d(u±v)＝du±dv (2) d(uv)＝vdu＋udv (3) d(cv)＝cdu (4) 复合函数的微分微分法则 设y＝f(u) 、 u＝φ(x) ，则复合函数y＝f[φ(x) ]的微分为 由于 ，所以，复合函数y