计算机数学-4.pptVIP

第5章 定积分的几何应用 5.1 定积分的微元法 5.2 定积分求平面图形的面 5.3 定积分求空间立体的体积 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 例1. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 祖暅原理： 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。证明：所截面的面积分别为  由于所截面积都相等，所以 例2. 计算由椭圆 方法2 利用椭圆参数方程 前页 结束 后页 计算机数学基础 1.选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间[a,b], 此方法称为微元法或积分元素法. 在区间上任取一小区间,并记为 . 5.1 定积分的微元法 对定积分问题,所求量 的积分表达式,可如下确定: 2.找出 在[a,b]上任意小区间[x,x+dx]上部分量△A的近似值 , 3.在[a,b]上求dA的定积分即得A的积分表达式 设函数 在区 间 上连续, , 求由曲线 及 直线 所围成 的图形的面积. 1. 直角坐标下平面图形的面积 5.2 用定积分求平面图形的面积 (2) 以 为被积表达式,在区间 作定积分 ,这就是所求图形的面积. (1) 在区间 上任取小区间 ,设此小区间上的面积为 ,它近似于高为 ,底为 的小矩形面积,从而得面积微元为 分析 在这个公式中，无论曲线 在x 轴的上方或下方都成立，只要 在曲线 的下方即可。 例1 求由曲线 所围成的图形的面积A。 解 两曲线的交点为（0,0）,（1,1）,于是积分区间为[0,1] 面积微元 所求面积为 面积为 ,则近似于高为dy,底 同理，设函数 在区间 上连续， 为 的小矩形面积, 在区间 上任取小区间 ,设此小区间上的 求由曲线 及直线 所围成的图形的面积. 于是所求面积为 从而得面积微元为 dy 解 由 解得交点A(2,-1),B(8,2) 例2 求抛物线 与直线 所围成的图形的面积. A(2,-1), B(8,2) 取y为积分变量,于是,所求面积为: 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积 且 求此曲线与射线 所围成的曲边扇形的面积. 2.极坐标下平面图形的面积 设曲线的极坐标方程 在 上连续, 在区间 上任取一小区间 ,设此小区间上曲边扇形的面积为 ,则 近似于半径为 ,中心 角为 的扇形面积, 从而可得面积为 从而得到面积微元为 例4 求心形线 所围成的面积. 解 当 从0变到 时,得 的图形为上半部分,心形线所围图形的面积A为极轴上方部分的两倍,即 例5 计算阿基米德螺线 上对应于 从0变到 的一段曲线与极轴所围成图形的面积. 解 面积微元为 于是,所求面积为 5.3 用定积分求空间立体的体积 5.3.1 平行截面面积已知的立体体积 设有一立体价于过点 且垂直于 轴的两平面之间,求此立体的体积. 如图,介于 与