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第2章 积分学 周忠荣 编 第2章 积分学 本章主要内容 不定积分的概念与性质 不定积分的计算 定积分的概念与性质 定积分的计算与应用 广义积分 复习回顾 不定积分的定义 不定积分的性质 不定积分的几何意义 不定积分计算的直接积分法 练习 求下列函数的积分 2.2.3 换元法 大量初等函数的原函数需要根据被积函数的类型和特点灵活地运用各种技巧。 换元法，就是通过适当的换元，使某些不定积分的被积函数换成符合基本积分表中的形式，从而得到它的原函数。 换元法通常分为第一类换元法和第二类换元法。 2.2.3 换元法 （续一） 第一类换元法 （凑微分法） 例2-7 求 。 解 2.2.3 换元法 （续二） 如果不定积分 不能直接利用基本积分公式求解，但被积函数g(x)可变形为 作变量代换u＝φ(x) ，并将凑微分成dφ(x) ，则可将关于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有 2.2.3 换元法 （续三） 定理2-3 （第一类换元法）若已知 并且u＝φ(x)是可微函数，则有 （2-7） 第一类换元法又称为凑微分法。“凑微分”反映了这种方法的本质。 2.2.3 换元法 （续四） 运用凑微分法的思考过程是：将被积函数看成两个函数f[φ(x)]和 的乘积，将 凑微分得到dφ(x)，然后将φ(x)作为中间变量完成积分 。 所以，成功运用凑微分法的关键是选择恰当的函数 ，既要方便地凑微分得到dφ(x)，又要使 比较容易积分。 2.2.3 换元法 （续一） 2.2.3 换元法 （续五） 第一类换元法图解 2.2.3 换元法 （续六） 运用凑微分法，熟练以后可以省略写出引进变量u的步骤。 下面是最常用的凑微分等式。 （1） (a，b为常数， a ≠0) （2） （3） （4）cosxdx＝dsinx （5）sinxdx＝－dcosx 2.2.3 换元法 （续七） 例2-8 求 。 解 2.2.3 换元法 （续八） 第一类换元法 例2-9 求　　　　 。 解 类似地求 总结 当正弦的幂与余弦的乘积同时出现在被积函数中时，将余弦变为正弦的导数．如 当正弦与余弦的幂的乘积同时出现在被积函数中时，将正弦变为余弦的导数．如 2.2.3 换元法 （续九） 例2-10 求 。 解 2.2.3 换元法 （续十） 补例 求 。 解 2.2.3 换元法 （续十一） 例2-11 求 　　　　　 。 例2-12 求 。 2.2.3 换元法 （续十二） 例2-13 求 。 例2-14 求 。 2.2.3 换元法 （续十三） 例2-15 求 　　　　　　　 。 例2-16 求 练习 求下列积分 计算机数学 不容易积分 容易积分 恰当选择φ(x) 例2-17 求积分：(1) 分析：本题中不定积分均不能直接用凑微分法求解， 需先把被积函数适当变形后再求积分。 解 (1)因为 所以 (2) 因为 所以 例2-18 求 解 由于 得： 计算机数学 * *