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第2章 积分学 周忠荣 编 第2章 积分学 本章主要内容 不定积分的概念与性质 不定积分的计算 定积分的概念与性质 定积分的计算与应用 广义积分 2.3 定积分的概念与性质 本节内容 2.3.1 定积分的定义 2.3.2 定积分的几何意义 2.3.3 定积分的性质 2.3.1 定积分的定义 曲边梯形 2.3.1 定积分的定义 （续一） 曲边梯形的面积 2.3.1 定积分的定义 （续二） 若记λ＝max{Δx1, Δx2, … , Δxn}，则上述条件相当于λ→0。当λ→0时（必然是分段数无限增大，即n→∞），对上式取极限，就得到曲边梯形的面积 2.3.1 定积分的定义 （续三） 定义2-3 设f(x)是定义在区间[a,b]上的有界函数，用点 将[a,b]区间任意分割成n个小区间 这些小区间的长度依次为 2.3.1 定积分的定义 （续四） 在每个小区间 [xi－1, xi] 上任取一点 ξi(xi－1 ≤ξi≤ xi)，作n个乘积f(ξi) Δxi的和式 记λ＝max{Δx1, Δx2, … , Δxn}，如果当λ→0时，和式 的极限存在，并且其极限与区间[a, b]的分割方法以及点ξi的取法无关，则该极限值称为函数f(x)在区间上[a, b]的定积分，记做 ，即 2.3.1 定积分的定义 （续五） 其中f(x)称为被积函数， f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，[a, b]称为积分区间。 可见，定积分是特殊和式的极限。 如果f(x)在[a, b]上的定积分存在，就称f(x)在[a, b]上可积，否则就称f(x)在[a, b]上不可积。 2.3.1 定积分的定义 （续六） 连续曲线y＝f(x) (f(x)≥0) 、x轴及两条直线x＝a和x＝b所围成的曲边梯形的面积等于函数f(x)在区间[a, b] 上的定积分，即 2.3.1 定积分的定义 （续六） 定积分 是乘积和的极限。它是一个确定的值，仅取决于具体的函数关系f(x)和确定的积分区间[a, b]，积分变量用什么字母都可以，即 定理2-4 如果函数f(x)在[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上一定可积。 2.3.2 定积分的几何意义 如果规定在x轴上方的图形的面积为正，在x轴下方的图形的面积为负，那么 的几何意义就是介于曲线y＝f(x)、 x轴及两条直线x＝a和x＝b之间的各部分面积的代数和，如下图所示。 2.3.2 （续） 两点补充规定： 这样的规定与定积分的几何意义相符，也满足以后介绍的定积分的各个性质。 2.3.3 定积分的性质 性质1 如果在区间[a,b]上f(x)≡1，则 性质2 函数的和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即 性质3 被积函数的常数因子可以提到积分号外，即 （k为常数） 2.3.3 定积分的性质 （续一） 性质4 对于任意3个常数a、b、c，下式恒成立： 性质5 如果在区间[a,b]上f(x)≥0，则 2.3.3 定积分的性质 （续二） 性质6 如果在区间[a,b]上f(x)≤ g(x) ，则 性质7 （积分中值公式） 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立： 2.4 定积分的计算与应用 本节内容 2.4.1 微积分基本公式 2.4.2 定积分的变量代换法 2.4.3 定积分的分部积分法 2.4.2 平面图形的面积 2.4.1 微积分基本公式 2.3.1小节已经介绍了定积分的定义。但是，按定义计算定积分是非常麻烦的。因此，本节探讨计算定积分的简便方法。 为了讨论物体在变速直线运动中位置函数与速度函数间的联系，有必要沿物体的运动方向建立坐标轴。设时刻t时物体所在位置为s(t)，速度为v(t)。 2.4.1 （续一） 一方面，物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程可以用速度函数v(t)在区间[T1,T2]上的定积分 来表达。另一方面，这段路程可以通过位置函数在区间[T1,T2]上的增量 s＝s(T2)－s(T1) 来表达。 2.4.1 （续二） 这表明，位置函数s(t)与速度函数v(t)有如下关系： (a) 上面从变速直线运动的路程这个特定问题中得到的关系，在一定条件下具有普遍性。详见后面的微积分基本公式。 2.4