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第2章 积分学 周忠荣 编 第2章 积分学 本章主要内容 不定积分的概念与性质 不定积分的计算 定积分的概念与性质 定积分的计算与应用 广义积分 考察一个例子： 例：某函数在(a,b)内的任一点x处的导数等于2x，求出这个函数的表达式。 解:设所求函数为y=F(x)，由题意知 由于 所以 2.1 不定积分的概念与性质 现实生活中普遍存在着根据一个函数的导数求这个函数的问题。例如，前面已经介绍过已知道物体沿直线方向运动的运动方程s＝f(t) ，求速度v＝v(t)的方法。现在讨论已知道物体沿直线方向运动的速度方程v＝v(t)如何求出物体的运动方程s＝f(t) 。下面先介绍原函数的概念。 2.1 （续一） 一、原函数的概念： 定义2-1 设f(x)为定义在某区间I上的已知函数，如果存在函数F(x) ，对于该区间上的一切x，都有 或 dF(x)＝f(x)dx （2-1） 则称函数F(x)是函数f(x)在该区间上的一个原函数。 例如，F(x)＝－cosx 是 f(x)＝sinx在(－∞,＋∞)上的一个原函数。 2.1 （续二） 实际上，除了函数F(x)＝－cosx外，函数F(x)＝1－cosx 和函数 F(x)＝－cosx－2也是f(x)＝sinx的原函数。这说明，一个函数的原函数不是唯一的。 研究原函数首先必须回答以下两个问题。 (1) 是不是任意给出的函数都有原函数？在什么条件下，一个函数存在原函数？ (2) 如果存在原函数，原函数有多少个？这些原函数相互间有什么关系？ 2.1 （续三） 定理2-1 若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上存在原函数F(x) 。 即连续函数必定存在原函数。 由于初等函数在其有定义的区间上是连续的。因此，根据定理2-1可知，每个初等函数在其定义区间上存在原函数。 2.1 （续四） 定理2-2 如果函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则 (1) F(x)＋C也是在区间I上的原函数，其中C为任意常数； (2) F(x)在区间I上的任意两个原函数之间，相差一个常数。 f(x)的全体原函数可以表达为F(x)＋C 。 2.1 （续五） 二、不定积分定义： 定义2-2 f(x)在区间I上的全体原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记作 其中“ ”称为积分号， f(x)称为被积函数， f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量。 若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，根据定义2-2和定理2-2，有 　 （2-2） 其中C是任意常数，称为积分常数。 2.1 （续七） 例2-1 求 。 解 由于 ，所以 是的一个原函数，因此 同理： 更一般地： 2.1 （续八） 例2-2 求 （x≠0）。 解 当x＞0时， ，当x＜0时， ，所以ln|x|是 的一个原函数，因此 例求 解：由于 所以 是 的一个原函数。 因此 四、不定积分的性质 根据定义2-2可得到不定积分的两个关系式： （1）求不定积分与求导数或求微分互为逆运算，即 ① 或 （2-3） ② 或 （2-4） 于是有 所以 这说明：如果对一个函数先积分再求导，结果是这两种运算互相抵消；如果对它先求导再积分，其结果与原来的函数相差一个任意常数。 （2）两个函数的代数和的不定积分，等于它们的不定积分的代数和，即 这个性质可以推广到任意有限多个函数的代数和的情况。 （3）在求不定积分时，非零常数因子可以提到积分号外面，即 性质（2）与（3）可以得到更一般的情况，即 2.2 不定积分的计算 本节内容 2.2.1 基本积分公式 2.2.2 不定积分的线性运算法则 2.2.3 变量代换法 2.2.4 分部积分法 2.2.1 基本积分公式 基本积分公式 (1) (2) (3) (4) (5) 2.2.1 基本积分公式（续一） (6) (7) (8) (9) (10) (11) 2.2.1 基本积分公式（续二） 例2-3 求 。 此时可以用基本积分公式，因为 μ=-2，则有 例2-4 求