计算机数学基础-王信峰版第1章-1.pptVIP

1.1.1 误差与有效数字 1.1.3 避免误差危害的若干原则 若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个 设 为准确值， 为 的一个近似值， 误差 可正可负，当绝对误差为正时近似值偏大，叫 强近似值； 通常准确值 是未知的， 因此误差 也未知. 为近似值的绝对误差， 定义1 称 简称误差. 当绝对误差为负时近似值偏小，叫弱近似值. 上界， 即 则 叫做近似值的误差限， 它总是正数. 例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，读出和该长度接近的刻度 ， 是 的近似值， 它的误差限是 ， 于是 如读出的长度为 ， 则有 . 虽然从这个不等式不能知道准确的 是多少，但可知 结果说明 在区间 内. 对于一般情形 ， 即 也可以表示为 但要注意的是，误差限的大小并不能完全表示近似值的 好坏. 例如，有两个量 ， 则 虽然 比 大 4 倍， 但 比 要小得多，这说明 近似 的程度比 近似 的程度好. 所以除考虑误差的大小外，还应考虑准确值 本身的大小. 实际计算中， 由于真值 总是未知的， 把近似值的误差 与准确值 的比值 称为近似值 的相对误差， 记作 . 作为 的相对误差， 条件是 较小， 通常取 此时利用 知 相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差 限， 是 的平方项级， 记作 ， 故可忽略不计. 即 上例中 与 的相对误差限分别为 可见 近似 的程度比 近似 的程度好. 根据定义， 当准确值 位数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 的前几位近似值 ， 取3位 取5位 它们的误差都不超过末位数字的半个单位， 例如 即 若近似值 的误差限是某一位的半个单位， 该位到 的第一位非零数字共有 位，就说 有 位有效数字. 表示为 （2.1） 其中 是0到9中的一个数字， 为整数， （2.2） 定义2 且 如取 作为 的近似值， 取 ， 按这个定义， 就有3位有效数字， 就有5位有效数字. 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的 按定义， 187.93, 0.037856, 8.0000, 2.7183. 的5位有效数字近似数是8.0000，而不是8， 例1 近似数： 187.9325, 0 8.000033, 2.7182818. 上述各数具有5位有效数字的近似数分别是 因为8只有1位有效数字. 注意： 若 的相对误差限 ， 设近似数 表示为 其中 是0到9中的一个数字， 反之， 则 至少具有 位有效数字. 若 具有 位有效数字， 定理1 为整数. 则其相对误差限为 数值计算中首先要分清问题是否病态和算法是否数 值稳定，计算时还应尽量避免误差危害，防止有效数字 的损失，有下面若干原则. 1. 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法 用绝对值小的数作除数舍入误差会增大，如计算 若 ，则可能对计算结果带来严重影响，应 尽量避免. 线性方程组 的准确解为 在四位浮点十进制数（仿机器实际计算）下用消去法求解， 例6 上述方程写成 若用 除第一方程减第二方程，则出现 由此解出 显然严重失真. 小数除大数， 这时方程组为 若反过来用第二个方程消去第一个方程中含 的项， 由此求得相当好的近似解 则避免了大数被小数除，得到 2. 要避免两相近数相减 在数值计算中两相近数相减有效数字会严重损失. 例如， 都具有五位有效数字， 但 只有两位有效数字. 这说明必须尽量避免出现这类运算. 最好是改变计算方法，防止这种现象产生. 求 的小正根. 解 只有一位有效数字. 则具有3位有效数字. 若改