成贤教材-高数B下习 题 课 下03.docVIP

习 题 课 下03 一、填空题 1．已知，则其和函数，级数的和为。 解：，， 。 2．已知，则其和函数，级数的和为。 解： ，。 3．级数的和为。 解： 4．设 ，其中 ，则。 解：∵是余弦级数，它由的偶式延拓展开而产生且周期为2， ∴ 二、选择题 1．设幂级数在点收敛，则实数的取值范围是（ A ） （A）； （B）； （C）； （D）。 解：令，，收敛半径，收敛域为， 故的收敛域为。∴，∴。 2．将展成的幂级数，其收敛域为（ D ） （A）； （B）； （C）； （D）。 解： 其中，即，故应选（D）。 三、求幂级数的收敛域与和函数。 解：∵ ，∴，收敛区间为（-2，2）， 当时，得，收敛的； 当时，得，发散的；故收敛域为[-2，2）。 设和函数，， ，（或）。 ∴ 四、将下列函数展开成的幂级数 1． 解： 2． 解法1： 。 解法2： ∴ 3． 解： ， ∵， ， ∴。 五、将函数展开成的幂级数。 解：令， ， ， ， ∴ 。 六、将函数展开成的幂级数，并求的和。（2003年考研题） 解： ， ， 当时，， ∴。 七、将展开成正弦级数，并求的和。 解：先将作奇式延拓，再作周期延拓，则， 当时，级数收敛于0， 当时，级数收敛于， ∴ 当时，得∴。 八、利用幂级数证明欧拉公式：。 证明： ， 在上式中以代，得， ∴. 思考题： 1．将展开成以2为周期的傅里叶级数，并求的和。 解：∵是偶函数，∴。 ， ∴。 当时，得， 又， ∴。 2．设试将展开成的幂级数，并求级数 的和。（2001年考研题） 解：， 但时，上述右边的级数收敛于，故 ∴ 3．求幂级数的收敛区间与和函数。（2005年考研题） 解：，得新幂级数 ，， 新幂级数的收敛区间为，故原幂级数的收敛区间为。 设，， ，， ，， ， ， 又，， 故，。 另解： ，。 4．求幂级数在区间内的和函数。（2005年考研题） 解：设，，，则 ，。 ，， ，，又， 故 ，， 故 1