成贤教材-高数B下9.2.2极坐标系下二重积分的计算.docVIP

9.2.2极坐标系下二重积分的计算 有些二重积分，区域D的边界曲线用极坐标方程表示比较方便，且被积函数用极坐标变量表达比较简单。这时，就可以在极坐标系下计算二重积分。 （一）把二重积分化为极坐标形式 设函数在闭区域D上连续。区域D的边界曲线为和，，其中，在上连续。 假设从极出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。 用以极点为中心的一族同心圆：常数，以及 从极点出发的一族射线：常数，把分成n个 小闭区域，除了包含边界点的一些小闭区域外，小 闭区域的面积计算如下： 其中表示相邻两圆弧的半径的平均值。在这小区域内取圆周上一点，该点的直角坐标设为，则由直角坐标与极坐标的关系有，， 故 即。① （二）把二重积分的极坐标形式化为二次积分 一般地，先对后对。 1．极点在积分区域的外部 设积分区域为：，其中函数，在[]上连续。 ② 若积分区域为： 2．极点在积分域D的内部 设积分区域为：，则有 在极坐标系中，闭区域D的面积可以表示为 若闭区域如图1，则。 若闭区域如图2，则 例1．计算下列二重积分 （1），D为圆所围成的区域。 解：把区域D的边界曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，得 ，于是有 D： ∴ 。 （2），D：，，所围成的区域。 解：D：， 例2．将二次积分化为极坐标下的二次积分。 解：：. 例3．计算二重积分，其中。 解： 。 例4．球体被圆 柱面所截得的 （含在圆柱面内的部分）立体的体积。 解：由对称性，得其中积分区域为D：。 。 例5．求三叶玫瑰线所围成的面积。 解： 例6．计算无穷积分. 解：因为的原函数不能用初等函数表示，所以无法直接计算这个广义积分，在这里利用二重积分进行计算。 设 ，。 用极坐标计算。 ∵， ∴， ∴ ，。 二重积分的一般换元法则 定理 设函数在平面上的闭区域D上连续，变换T：，将平面上的闭区域变为平面上的D，且满足 （1）在上具有一阶连续偏导数， （2）在，， （3）变换T：是一对一的，则有。 此公式称为二重积分的换元公式。 注：内个别点上，或一条线上为零，而在其他点上不为零，那么换元公式仍成立。 在极坐标变换下， ， 按二重积分的换元公式，便得：。 这里在平面上对应的区域。在上节内所证的相同公式上用的是，因为在那里把同一平面上点的极坐标，故积分区域仍记。 例7．计算，其中由围成。 解：令，则， D的边界曲线 ， ， 。 例8．计算，其中D为椭圆所围成的区域。 解：作广义极坐标变换：，则 ， ， 。 5 D D x o