成贤教材-高数B下习 题 课 下02.docVIP

习 题 课 下02 一、填空题 1．幂级数在处条件收敛，则该级数的收敛半径。 解：∵在处条件收敛，而， ∴，∴。 若,则，这与已知矛盾，∴。 2．设的收敛半径为3，则的收敛区间为。 解：∵与有相同的收敛半径， 而与有相同的收敛半径， ∴有，故的收敛区间为。 二、选择题 1．下列反常积分中收敛的是（ C ） （A）； （B）；（C）；（D）。 解：∵，∴发散。 ∵，∴发散。 ∵，∴收敛。 ∵，∴发散。 2．若级数 则此级数（B） （A）条件收敛； （B）绝对收敛；（C）发散；（D）收敛性不一定。 解：，∵∴ ∴，当，， 故 3．设级数条件收敛，且，则（ D ） （A）； （B）；（C）；（D）。 解法1：若，则绝对收敛，与已知条件收敛矛盾，∴（B）不对。 若，则发散，与已知条件收敛矛盾，∴（A）（C）不对，应选（D）。 解法2：考虑幂级数，∵处条件收敛，由知，的 收敛半径，即，∴。 三、解答题 1．判别反常积分的敛散性。 解：是瑕点，设，， ∵（），∴收敛。 ∵（），∴。∴收敛。 2．求级数的收敛域。 解： 当，，即时，级数收敛。 当，，即时，级数成为，收敛的。 故级数的收敛域为。 3．求级数的收敛域。 解：令，则得新级数， ，。 ，∴收敛区间为。 当得， ∵收敛，∴。 当得， ∵发散，，∴。 ∴的收敛域为。 4．求幂级数的收敛域。 解：， ∵，∴ 当时，原级数成为， 当时，，级数发散，∴收敛域为. 5．求幂级数在收敛域内的和函数： （1） 解：收敛域为，和函数为 （2）（90年考研题） 解：收敛域为，和函数为 （3） （注：利用公式求和函数。） 解：收敛域为，设和函数为 ，， ∴ 6．求数项级数的和。 分析：易想到所给数项级数可看作是幂级数在时所得的级数，但该幂级数的和函数不易求得。若将所给数项级数可看作是幂级数在时所得的级数，其和函数就容易求了。 解：设，则 ∴ 5